2024-2025学年江西省赣州市十八县（市、区）二十五校高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省赣州市十八县（市、区）二十五校高二（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}的前4项为3，6，11，20，则{an}的通项公式可以是( )
A. an=3nB. an=2n+nC. an=3nD. an=4n−n
2.关于随机变量X和Y的样本(线性)相关系数r，下列说法正确的是( )
A. r的取值范围为[0,1]
B. 当r=1时，随机变量X和Y不相关
C. 当r=0时，随机变量X和Y的相关程度最强
D. 当r>0时，随机变量X和Y正相关
3.等差数列{an}的前n项和Sn，若S5=5，则a3=( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
4.已知数列{an}的通项公式为an=(n−74)2，则{an}的最小项为( )
A. 116B. 14C. 74D. 916
5.函数f(x)=12lnx图象上一点P到直线y=x2的最短距离为( )
A. 2B. 22C. 55D. 5(2−2ln2)5
6.已知变量x和y的统计数据如表：
若x和y线性相关，则y关于x的回归直线方程为( )
(附：回归直线方程y =a +b x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b​=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−bx−)
A. y=5x+25B. y=5.5x+22.5C. y=6x+20D. y=6.5x+17.5
7.已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=2，an+1=Sn−1，则( )
A. {an}是等比数列B. 数列{Sn}是等比数列
C. a2025=22023D. S2025=22024
8.已知各项均为整数的数列{an}共有m项，a1=0，am=5，且对任意i，j(1≤i≤j≤m,i,j∈N∗)，ai≤aj.若m=5，则满足条件的{an}有( )
A. 21个B. 35个C. 56个D. 62个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的导数计算正确的是( )
A. f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex
B. f(x)= x+1，f′(x)= xx
C. f(x)=sin2x，f′(x)=2cs2x
D. f(x)=(2x+1)5，f′(x)=10(2x+1)4
10.已知1，a1，a2，…，ak(k∈N+，且k≥2)，2为等比数列，公比为q，记Sk=a1a2⋯ak，则( )
A. a1ak=2B. qk+1=2C. q=21k+1D. Sk=2k2
11.已知曲线C：kx2=(1+y)(1−y)3(k>0)，则下列结论正确的是( )
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C上的点到x轴的距离的最大值为1
C. 若k=1，且点(x0,y0)在C上，则x0+y0≤1
D. 若曲线C与圆M：x2+y2=1只有2个公共点，则k的取值范围为(4,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设数列{an}是公差为d(d>0)的等差数列.若{an}的连续四项是集合{−6,−2,0,2,6}中的元素，则d= ______．
13.甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为______．
14.如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，点E满足DE=2EA，则四面体ABCE的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2x3+3x2．
(1)求f(x)在x=12处的切线方程；
(2)求过点(12,f(12))且与曲线y=f(x)相切的直线方程．
16.(本小题15分)
为了解观看A，B这两部影片的观众中男、女观众的占比情况，某机构采用简单随机抽样的方法，调查了200人，得到如表数据．
(1)试问观看这两部影片的观众的男女比例是否有差异？
(2)若将表中所有数据都扩大为原来的k(k∈N+)倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断观看这两部影片的观众的男女比例是否有差异，若要使得有99%的把握判断观看这两部影片的观众的男女比例有差异，求k的最小值．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断．
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
17.(本小题15分)
在矩形ABCD中，E，F为CD上两个不同的三等分点，如图1.将△AFD和△BEC分别沿AF，BE向上翻折，使得点C，D重合，记重合后的点为P，如图2.已知AB=6，四棱锥P−ABEF的体积为8 33．

(1)求AD；
(2)求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan(p∈R,q∈R)，定义x2−px−q=0为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x1，x2，若x1≠x2，则数列{an}的通项公式为an=Ax1n+Bx2n，若x1=x2，则数列{an}的通项公式为an=(A+Bn)x12，其中A，B均为实数．
(1)若数列{an}满足an+2=2an+1−an，且a1=1，a2=2，求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足an+2=an+1+an，且a1=1，a2=1，求{an}的通项公式；
(3)若数列{an}满足an+2=3an+1−2an，且a1=1，a2=3，记bn=an+1an,Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn≥2n−12n+32．
19.(本小题17分)
记圆M：x2+(y− 2)2=1的圆心为M，椭圆C：x2a2+y2b2=1过点M．
(1)已知椭圆C和圆M交于点E，F，且|EF|= 2．
①求椭圆C的方程；
②已知点G(− 63,0),K(0,− 2)，若过点M的直线l交C于另一点H，且△GHK的面积为2 33，求l的方程．
(2)若a> 2，直线l′与椭圆C相切于点P，与圆M相切于点Q，且|PQ|=2，求椭圆C的方程．
附：若T(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1上一点，则过点T且与该椭圆相切的直线的方程为x0xa2+y0yb2=1．
参考答案
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】4
13.【答案】38
14.【答案】48π
15.解：(1)f′(x)=6x2+6x，
则f′(12)=6×14+6×12=92，
又f(12)=2×18+3×14=1，
则所求直线方程为y−1=92(x−12)，即y=92x−54；
(2)当点(12,f(12))为切点坐标时，由(1)可知，直线方程为y=92x−54；
当切点不为点(12,f(12))时，设切点坐标为(x0,2x03+3x02)，
此时切线方程为y−(2x03+3x02)=(6x02+6x0)(x−x0)，
则1−2x03−3x02=(6x02+6x0)(12−x0)，
即4x03−3x0+1=0，即(x0+1)(2x0−1)2=0，
解得x0=−1或x0=12(舍)，
则此时切线方程为y−1=0，即y=1．
综上，切线方程为y=1或y=92x−54．
16.解：(1)零假设H0：观看这两部影片的观众的男女比例无差异，
根据列联表计算χ2=200×(50×60−40×50)290×110×100×100=20099≈2.020，
因为2.02012n，
则Tn=b1+b2+...+bn=2n+1+13+17+...+12n−1≥2n+1+14+18+...+12n=2n+1+14(1−12n−1)1−12=2n+32−12n．
19.解：(1)①因为椭圆C过点M(0, 2)，所以0+( 2)2b2=1，解得b2=2，
不妨设点F在第一象限，因为|EF|= 2，所以点F的横坐标为 22，
将x= 22代入x2+(y− 2)2=1，解得y= 22或y=3 22(舍去)，所以F( 22, 22)．
将x= 22，y= 22代入x2a2+y22=1，解得a2=23．
故椭圆C的方程为x223+y22=1．
②直线GK的斜率为− 3，则直线GK的方程为y=− 3x− 2，由题意得|GK|=2 63．
设点H到直线GK的距离为d，则S△GHK=12|GK|⋅d=2 33，解得d= 2，
设过点H，且与直线GK平行的直线的方程为y=− 3x+m，
则|m+ 2|2= 2，解得m= 2或m=−3 2．
当m=−3 2时，直线y=− 3x−3 2与C没有交点，不符合题意，舍去；
当m= 2时，直线y=− 3x+ 2经过点M，
所以直线l即直线y=− 3x+ 2．
(2)不妨设点P(x0,y0)在第一象限，则x0>0，y0>0，x02a2+y022=1①.
由题意可得直线l′的方程为x0xa2+y0y2=1，即2x0x+a2y0y−2a2=0．
因为直线l′与圆M相切，所以| 2a2y0−2a2| (2x0)2+(a2y0)2=1②.
由①②可得a2=4−2y02y02−4 2y0+4．
因为圆M：x2+(y− 2)2=1的圆心为M(0, 2)，半径为1，
所以|MP|= x02+( 2−y0)2，|MQ|=1，
又|PQ|=2，且|MP|2=|MQ|2+|PQ|2，所以x02+( 2−y0)2=5③.
由①③可得a2(1−y022)=5−( 2−y0)2，所以(4−2y02)(1−y022)y02−4 2y0+4=5−( 2−y0)2，
化简得(1− 2y0)( 2y03−5y02+4 2y0+8)=0，
因为 2y03−5y02+4 2y0+8≥2 2y03⋅4 2y0−5y02+8=4 2y02−5y02+8>0，
所以1− 2y0=0，解得y0= 22，所以a2=6．
故椭圆C的方程为x26+y22=1．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
观众
性别
合计
男
女
观看A影片
50
50
100
观看B影片
40
60
100
合计
90
110
200