江西省赣州市十八县（市）二十五校2024-2025学年高一下学期第五十三次期中联考（4月）数学试题（解析版）

这是一份江西省赣州市十八县（市）二十五校2024-2025学年高一下学期第五十三次期中联考（4月）数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A 1B. C. 0D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
2 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以.
故选：B.
3. 已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】因为，为不共线向量，且，为共线向量，
所以，而，，
则，
故，解得，故D正确.故选：D.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为
当时, ,所以.即“”是“”的充分条件.
当时,由于成立,
所以,即“”是“”的必要条件.
综上可知, “”是“”的充要条件
故选:C
5. 若向量，，满足，，且，，则在上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由投影数量公式得在上的投影数量为，
由题意得，，，，
而，
故A正确.
故选：A.
6. 如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点， ，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，，，所以，
又向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，
所以，，
所以.
故选：A.
7. 已知，，，，则（ ）
A. ，且B. ，且
C. ，且D. ，且
【答案】D
【解析】因为，所以，
又，得到，
则，即，
因为，，
所以，综上可得，且，故D正确.
故选：D.
8. 若向量，满足，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】由，所以，
又，所以，解得，
当且仅当，且，方向相反时取等号，所以的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. 是第一象限角
B.
C. 与终边相同的最大负角是
D. 在内与终边相同的角只有1个
【答案】BD
【解析】对于A、B，，是第三象限角，，故A错误，
B正确；对于C、D，与终边相同的角，，取，得最大负角为，故C错误；取可得与终边相同，故D正确.故选：BD.
10. 下列函数是周期函数，且1是该函数一个周期的有（ ）
A.
B.
C. ，，
D.
【答案】BCD
【解析】对于A，是周期函数，最小正周期为2，1不是该函数的周期，故A错误；
对于B，是周期函数，且1是该函数的周期，故B正确；
对于C，若，则，
即所以，，
所以，1是该函数的一个周期，故C正确；
对于D，若，则，此时，
若，则，此时，
综上恒有，所以是周期函数，且1是该函数的一个周期，故D正确.
故选:BCD.
11. 若点是三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C. 当最小时与重合
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由三角形重心性质知，点为线段上靠近的三等分点，故A正确；
对于B，由，
得，故B错误；
对于C，建立坐标系，
设，，，，
则，令，
由二次函数性质可得，在对称轴处当，且时，取得最小值，此时在线段上且与点重合，故C正确；
对于D，，
当且仅当为线段中点时取等号，故D正确.

故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为______.
【答案】0.72或
【解析】这两台设备在一周内都不发生故障的概率为.
故答案为：0.72.
13. 若函数是奇函数，则______.
【答案】
【解析】已知是奇函数，则.
先求：将替换为，可得.
对进行化简：，
因为，所以，
移项可得：，
可得，故答案为：.
14. 若函数满足：当时，；；.若方程在区间上有且仅有6个不同实根，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意，，
可得是以为周期的周期函数，且图象关于直线对称，
而当时，， 则在上，令，解得，
而方程在区间上有且仅有6个不同实根，
得到必须大于第个根，小于等于第个根，
当时，有，
则第二个根为，故方程在第一个周期上有，两个根，
我们利用正切函数的周期性，可以求出方程在区间上的前7个实根，
且前7个实根依次为，，，，，，，
得到，则.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点在角的终边上.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为点在角的终边上，所以.
（2）因为，
，
所以.
16. 近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.
（1）求这6个数据的75%分位数及平均数；
（2）从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.
解:（1）因为，
所以这6个数据的75%分位数是249，
这6个数据的平均数是.
（2）从6个数据中任取2个数据，样本空，共含有15个样本点，设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”，
则，共含有6个样本点，
所以.
答：取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率为.
17. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.
（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在区间上的值域.
解：（1）函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，
当时，取得最大值3，
此时，，即，，
所以的取值集合是.
（2）当单调递增时，单调递减，
由，得，
所以的单调递减区间是.
（3）当时，，
由在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，
所以，
所以在区间上的值域为.
18. 已知函数的部分图象如图所示，点，是图象上相邻的最低点与最高点，线段与的图象交于点，过点作轴的垂线与的图象的离最近的一个交点为，.
（1）求的解析式；
（2）求；
（3）已知甲地某一天的气温（单位：）随时间（单位：h）的变化曲线是图象的一部分，若该地居民在气温低于时开启空调，求该地居民这一天开启空调的时长.
解：（1）根据的图像，得的最大值为12，最小值为，所以
解得，，
由对称性可知，点，均为图象的对称中心，
所以，
所以，，，把代入并化简得，又，所以，所以.
（2）由已知及（1）可得，，，
所以，，所以.
（3）由，得，
所以，解得，
因为，所以，，
所以该地居民这一天开启空调的时长为.
19. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.
（1）已知.
（ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：；
（ⅱ）若，，求的值；
（2）若，，，证明：.
（1）（ⅰ）证明：因为，所以，
则，整理得.
（ⅱ）解：设，则
，
又，
所以，解得.
（2）证明：因为，所以，
则，整理得，
设，代入上式得，记为①，
同理可得，，设，，
可得，记为②，，记为③，
联立①②消去，联立①③消去，
可得，，
又因为，，中任意两个向量互不共线，
所以故有，
由得，由得，
又，故，即.