江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.或D.
2．已知命题，，则为( )
A.，B.，
C.，D.，
3．正项等比数列中，，则( )
A.1B.2C.3D.4
4．已知函数的定义域为R且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是( )
A.函数的增区间是，
B.函数的减区间是，
C.是函数的极大值点
D.是函数的极大值点
5．“”是“函数在单调递增”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是( )
A.有解B.是奇函数
C.不是周期函数D.是单调递增函数
7．已如A是函数图像上的动点，B是直线上的动点，则A，B两点间距离的最小值为( )
A.B.4C.D.
8．设等差数列的前n项和为，公差为，，则下列结论正确的是( )
A.B.使得成立的最小自然数n是20
C.D.
二、多项选择题
9．已知a，，且，a，b，c都不为0，则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知正数a，b满足，则下列结论正确的是( )
A.ab的最大值为1B.的最小值为4
C.的最小值为9D.的最小值为
11．记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是( )
A.B.
C.D.函数的最小值为
三、填空题
12．已知函数是R上的奇函数，，则______.
13．数列的前n项和为，若，则______.
14．已知定义在R上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为______个.
四、解答题
15．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线平行.
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值.
16．已知等差数列的公差，，，，成等比数列，数列的前n项和公式为.
(1)求数列和的通项公式：
(2)设，求数列的前n项和.
17．已知函数为二次函数，有，，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③
(1)求函数的解析式；
(2)若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围.
18．已知函数，为的导函数，记，其中a为常数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，
①求a的取值范围；
②求证：.
19．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1，5，4，7，3：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，又
所以.
故选：A.
2．答案：D
解析：因为命题，是全称量词命题，则命题为存在量词命题，
由全称量词命题的否定得，命题：，.
故选：D.
3．答案：B
解析：由等比数列性质可知，解得，
所以，
故选：B
4．答案：C
解析：根据的图象可知：
当时，；当时，，当时，，当时，.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
因此函数在时取得极小值，在取得极大值.
故ABD错误，C正确.
故选：C
5．答案：B
解析：由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
要满足函数在单调递增，
需要，
因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
6．答案：A
解析：由，
因，则，可得 ，
即，故A错误；
因为的定义域为R，且，
所以是奇函数，故B正确；
，因是增函数，是增函数且恒为正数，
则是减函数，故是增函数，故D正确；
由D可知函数在R上单调递增，所以当时，，
所以函数不是周期函数，故C正确.
故选：A
7．答案：C
解析：因为，（），所以，
由，得，又，
所以过点的切线为：，
即.
直线与的距离为：即为所求.
故选：C
8．答案：C
解析：由公差为，可知，等差数列为递减数列且，，，
对A，，故A错误；
对B，因为，所以，所以，故B错误；
对C，因为，且，所以由一次函数单调性知为单调递减数列，所以，故C正确；
对D，由B知，且，所以，
因为，，若，则，
且，
即，即，而，，
显然矛盾，故不成立，故D错误.
故选：C
9．答案：BC
解析：当时，有，A选项错误；
，则，得，B选项正确；
，，得，C选项正确；
函数在R上单调递减，，则，D选项错误.
故选：BC
10．答案：ABD
解析：由正数a，b满足，可得，解得，即，
当且仅当，即，时等号成立，故A正确；
由正数a，b满足，可得，
解得或（舍去），当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
，由A知，
由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误；
由，可得，即，
所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
11．答案：ACD
解析：构建，则为的零点，
因为，
若，则，可知在内单调递减，且，
所以在内无零点；
若，则，可知在内单调递增，
且，
所以在内存在唯一零点；
对于选项A：因为，，即，
两边取对数可得：，，故A正确；
对于选项B：由上可知，故B不正确；
对于选项C：对称轴为，而，
故单调递增，
当，最小值为0.25，所以，故C正确；
对于选项D：构建，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
，可得，
令，，，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：2
解析：因为函数是R上的奇函数，所以，
所以，
故答案为：2
13．答案：
解析：由
得：
，
故答案为：.
14．答案：1350
解析：由，可得，
所以周期，
当时，，令，
解得，，即一个周期内有2个零点，
因为，
所以在上的零点个数为.
故答案为：1350
15．答案：(1)；
(2)最大值为4；最小值为：
解析：（1）因为函数的图象过点，
所以.
又因为，
且在点P处的切线恰好与直线平行，
所以，
由得：，所以.
（2）由（1）知：，
由，由或.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以在上的最大值为4，最小值为.
16．答案：(1)，；
(2)
解析：（1）由题意：，，，
因为，，成等比数列，
所以或，
又，所以，所以.
所以.
对数列：当时，，
当时，，，
两式相减得：，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知：，
所以：，
，
两式相减得：
，
所以.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设，由题意：，
两式相减的：
若选①，则：抛物线的对称轴为：，即.
所以，所以；
若选②，则：抛物线的对称轴为：，同上；
若选③，则：，由，得：，
所以.
综上：
（2）对：
当时，由；由；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，.
当时，恒成立，
所以在上恒成立.
观察可知，函数在上单调递减，所以，
由.
所以实数m的取值范围是：
18．答案：(1)见解析；
(2)①；②证明见解析
解析：（1）定义域为.
，，
，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，则，解得，
令，则，解得，
在单调递增，在单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故，
函数有两个极值点，，
在有两个不同零点的必要条件是，
解得，
当，在单调递增，在单调递减，
，，，，
由零点存在性定理得：在，各有1个零点，
的取值范围是.
②函数有两个极值点，，
①
②
①②得：，
要证，即证，即证，
即证，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
在上成立，
，得证.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)证明见解析
解析：（1）因为第二次得到数列，所以第三次得到数列
所以；
（2）设第n次构造后得的数列为1，，，…，，3
则，
则第次构造后得到的数列为
1，，，，，，，，3，
则
，
，可得，，
所以是以3为公比，6为首项的等比数列，
所以，即；
（3）由（2）得，
所以当时，，
当时，所以
，
综上所述，.