北京市延庆区2025年九年级中考零模数学试卷（解析版）

这是一份北京市延庆区2025年九年级中考零模数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下面立体图形中，是圆柱的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据圆柱的特点可知选项D中的图形是圆柱．
故选：D．
2. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，
，
，
故选C．
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由数轴可得：，故A错误，
∴，，，故BC错误，D正确，
故选：D．
4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. 5B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故选：C．
5. 不透明的盒子中装有黑、白、红小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到相同颜色的小球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图为：
共有种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的小球的结果数为，
两次摸到相同颜色的小球的概率是．
故选：．
6. 宇宙浩瀚无垠，它的宏伟与玄奇超乎人类想象．为更方便地计量太阳系中各天体间的距离，国际天文学联合会在1976年颁布了被称为“天文单位”（简写为A．U）的日地距离，并于2012年将其长度确定为149597870700米，可近似看作米．八大行星中，离太阳最远的海王星到太阳的平均距离为30天文单位，即米，则的值可近似为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
7. 下面是“作的平分线”的尺规作图方法：
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D. 三边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】由作图过程可知，，
，
，
∴判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：D．
8. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，
下列四个推断：①；②；③；④．
其中所有正确推断的序号是（ ）．
A. ①②B. ①②③
C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】∵大正方形面积为49，小正方形面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，
∴，，即①、②正确；
∴ ，则：，即③正确；
∴，
∴，即④错误；
综上，正确的有①②③．
故选B．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意得：，∴；
故答案为．
10. 分解因式：=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）
【解析】==x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
11. 方程的解为______．
【答案】
【解析】去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______．
【答案】0
【解析】∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，□ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD点E、F，已知AB＝3，AD＝5，则EF的长为________.
【答案】1
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
同理可证：DF＝CD＝3，
∴EF＝AE＋FD−AD＝3＋3−5＝1．
故答案为：1．
14. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15. 某厂加工了个工件，质检员从中随机抽取个工件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：


当一个工件的质量（单位：）满足为一等品，估计这个工件中一等品的个数是______．
【答案】
【解析】个工件中是一等品的有、、、、、、这个，这个工件中一等品的个数是个．
16. 甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目．
①甲在项目连续工作天能开发模块______个；
②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统．
【答案】
【解析】①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块
个；
②一个科技系统需个模块和个模块，
天两模块同时开发出数量最多，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，
乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
每天甲乙轮流开发可使两模块的数量相同，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，
天最多能组装套系统．
故答案为：①；②．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17. 计算：．
解：
．
18. 解不等式组：.
解：，
由①得，
，
；
由②得，
，
．
不等式组的解集是．
19. 已知，求代数式的值．
解：，
，
，
∴原式．
20. 如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
（1）证明：，
．
即，
中，，D为中点，
．
，．
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵菱形，
∴O为中点，．
∴是的中位线．
．
又，
．
∵在中，，
．
．
．
21. 某图书馆计划用800元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学每套50元，科普读物每套35元．若购买经典文学的数量比科普读物的数量多10套，判断能否恰好用完预算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由．
解：判断不能恰好用完预算．理由如下：
设购买经典文学x套，购买科普读物y套，假设恰好用完预算800元，
则，解得，
此时y不是正整数，不合题意．
答：不能恰好用完预算．
22. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是．
（1）求n和k的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．
解：（1）由题意将代入，得，解得：；
将代入，得，
解得：
∴n的值是1，k的值是2；
（2）由（1）可知，函数即为函数，
当时，，
当过点时，，解得，即，
当时，为，与平行，
如图，
根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时．
23. 如图，为的内接三角形，是的直径，D为中点，的延长线交于点E．
（1）求证：；
（2）连接交于点F，过点E作切线，交延长线于点Q，若，，求半径．
（1）证明：∵是的直径，D为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的延长线交于点E，
∴D，O，E三点共线，
∴．
（2）解：，
，．
．
，．．
设，，
∵是的切线，
．
，
．
．
．
．
即的半径长是3．
24. 3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校为提倡节约用水，增强节约用水意识，在七、八年级开展了节约用水知识竞赛活动（百分制）．七、八年级各有200名学生参加了知识竞赛活动，为了解两个年级的竞赛答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生的成绩数据如下：（单位：分）
60 67 80 80 75 75 88 88 78 96
80 80 69 75 86 86 77 77 89 78
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下：（数据分成四组：，，，）
其中成绩在数据如下：（单位：分）
81 81 81 82 83 84 85 86 87 89
c．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______；______；
（2）估计______年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多；
（3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计两个年级此次竞赛成绩优秀学生共有多少人？
解：（1）根据七年级的成绩可得，出现次数最多的是，故，
由题意可得，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是，，故；
（2）由题意可得，七年级成绩在平均分以上的人数有10人，占总数的，
八年级成绩在平均分以上的有11人，占总数的，
∵，
∴估计八年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多；
（3）由题意可得：（人），
故估计这两个年级此次成绩优秀学生共210人．
25. 某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究某种化学试剂在A和B两种场景下的挥发情况，在实验过程中，当试剂挥发时间为x分钟时，场景A和场景B中剩余质量分别为克，克．
下面是数学小组在探究过程中记录的，与x的几组对应值：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象：
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当试剂挥发时间为14分钟时，场景A，场景B剩余质量的差约为______克（结果保留小数点后一位）；
②查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则______（填“”，“”或“=”）．
解：（1）根据描点法画图象，画图如下：
（2）①通过分析，发现是x的二次函数，是x的一次函数
设，
根据题意，得，解得，
故；
设，
根据题意，得，解得，故；
当时，；
当时，，
故；
故答案：；
②根据题意，当克时，，
解得，（舍去），
∵
∴，
当克时，，
解得，
故，
故答案为：．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围．
解：（1）当时，抛物线为，
∴抛物线的顶点坐标为直线．
（2）∵抛物线的对称轴为，对于，，分两种情况.
①若，∵抛物线的对称轴为，，
∴点在对称轴的右侧，
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y随x的增大而减小，
，∴点N在对称轴右侧，
，，，．
②若，抛物线开口向下，
当时，y随x增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
抛物线的对称轴为，
点关于对称轴的对称点为，
，，
，即．
解不等式组得，
综上所述，a的取值范围是或．
27. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点D在射线上，连接．
（1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）如图2，当时，过点D作的垂线交射线于点E．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
解：（1）与的数量关系是．
证明：∵A，C，D共线，
．
，
．
∵线段绕点C旋转得到线段，
．
．
（2）与的数量关系是．
证明：．
．
．
作，且使，
连接，．
∵，
．
．
．
．
．
．
在和中，，
．
，．
．
，
，
在和中，，
，
，
∵在中，，
．
．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下规定：若外存在一点C，使得，则称点C是弦的“外联点”．
（1）已知，点，．
①在点，，，中，点______是弦的“外联点”；
②已知点P是直线上一点，若P是弦的“外联点”，则点P的横坐标是______；
（2）已知M，N是上任意两点，若直线上存在一点Q，使得点Q是弦的“外联点”，直接写出b的取值范围．
解：（1）①∵的半径为，点，，
∴，
∴点都是上的点，弦是的弦，
过点A作轴，过点B作轴，两线交于点D，
则四边形是正方形，
∴，，，
以点D为圆心，以为半径作，
∵，
∴点C一定在外的的优弧上，
∴，
∵点，，，，
∴，
，
，
，
∴，是弦的“外联点”
故答案为：，．
②作直线，交于点P，则点P为所求弦的“外联点”，过点P作轴于点F，
则，
∴，
∵，
∴，
故点P的横坐标是．
（2）根据前面的解答，不难发现，弦的“外联点”都在以点O为圆心，以为半径的圆上，
作出函数的图象，由，
得到直线与x轴的正半轴的夹角为，
当于点O时，弦的“外联点”到直线的距离最大，
作直线，分别与最外层圆交于点Q，，
过点Q，，分别作，，分别交y轴于点P，点G，
过点Q作轴于点R，根据题意，得，
∴，，
∴，
把点代入解析式，
得，解得，
根据中心对称性质，得，
把点代入解析式，
得，解得，
综上所述，点b的取值范围是．
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
（3）作射线．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
79.2
79
m
八年级
80.3
n
78
x（分钟）
0
5
10
15
20
…
（克）
25
20
7
…
（克）
25
20
15
10
5
…