福建省福州市福清市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份福建省福州市福清市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】二次根式在实数范围内有意义，
，
解得，
故选：C．
2. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意；
B、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意；
C、由于，则不是最简二次根式，选项不符合题意；
D、是最简二次根式，选项符合题意；
故选：D．
3. 在中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4. 在下列由线段组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】A、由，由勾股定理逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意；
D、由，由勾股定理的逆定理可知，，，能组成直角三角形，符合题意；
故选：D．
5. 下列计算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，选项计算不正确，符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算正确，不符合题意；
故选：A．
6. 下列各命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 全等三角形的面积相等
C. 菱形的四条边相等D. 矩形的对角线相等
【答案】C
【解析】A、对顶角相等的逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角，逆命题错误，不符合题意；
B、全等三角形的面积相等的逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等，逆命题错误，不符合题意；
C、菱形的四条边相等的逆命题：四条边相等的四边形是菱形，逆命题正确，符合题意；
D、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，逆命题错误，不符合题意；
故选：C．
7. 在四边形中，对角线，相交于点O，则下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】A．， ，不能判定四边形为平行四边形，故A符合题意；
B．∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意，
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D．由，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形即可证明四边形为平行四边形，故D不符合题意．
故选：A．
8. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间
C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】，
，
，则，
，
的值应在6和7之间，
故选：C．
9. 如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
，
，而，
，，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ）
A. 16B. 12C. D.
【答案】D
【解析】过作，如图所示：
在菱形中，，，
设，则，
，
，
，
，
，即菱形边长最小是4，
当时，则，即菱形边长最小时，在中，，，
，
过作，如图所示：
在中，，，则，
，
由勾股定理可得，
菱形的周长最小时，菱形的面积为，
故选：D．
二、填空题
11. _____．
【答案】10
【解析】原式=，
故答案为：10．
12. 如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，，则______．
【答案】
【解析】以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，
，，，
在中，，即，
，，
，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，相交于点O，则与面积相等的三角形是______．
【答案】
【解析】∵，
∴的面积与的面积相等（同底等高），
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离为______．
【答案】
【解析】如图，过点作轴，交轴于点A，
点P的坐标是，
，，
，
故答案：．
15. 如图，在中，，是高，，E，F分别为，的中点，若，则的度数为______（用含α的式子表示）．
【答案】
【解析】∵E，F分别为，的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵是高，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为______．
【答案】或
【解析】当在上方作等腰直角三角形时，过作，，如图所示：
，
设，则在中，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
∴，
，
，
，
四边形是正方形，
在中，，
，
，即，
解得，即正方形边长为，
是正方形的对角线，
；
当在下方作等腰直角三角形时，过作，，如图所示：
，
设，则在中，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，
，
四边形是正方形，即，
，
，
即，
解得，
即正方形的边长为，
是正方形的对角线，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 已知：如图，在矩形中，是的中点，求证：．
证明：四边形为矩形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
．
19. 如图，过圆锥的顶点和底面圆的圆心的平面截圆锥得截面，其中是圆锥底面圆的直径，已知，，求截面的面积．
解：在中，
∵，，
∴，
∴截面的面积．
20. 已知，求代数式的值．
解：，
当时，
原式
．
21. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题：
（1）直接写出的长；
（2）在网格中找出一个格点，使得，，并通过计算判断的形状．
解：（1）由图可知；
（2）由（1）知，
在中，，，，
，，，则，
为直角三角形，且，
，
是边长为的正方形的对角线，即可得到网格中的格点，如图所示：
22. 如图，已知在中，，，，点在边上．
（1）求作；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，点在边上，且，连接．当时，探究四边形的形状，并求出的长．
解：（1）如图所示：
即为所求；
（2）四边形的形状是矩形，
理由如下：如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．
（1）如图1，当点落在边边上时，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，若，，，当，，三点共线时，求的长．
（1）证明：如图1，由翻折得，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图2，作于点，则，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为6．
24. 某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动．
如图1，甲组利用含角的直角三角尺（即中，，）进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边垂直于地面，行走到点处时，视线透过边刚好经过旗杆顶部．经测得，小文的眼睛离地面，点离旗杆底部距离．如图2，乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段，该绳子长度未知．
（1）根据甲组的方案，求旗杆的长（结果保留整数，其中）；
（2）请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的求解旗杆长度的过程．（注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，卷尺测量得到的长度用……表示，方案的相关图示在图2中标注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计）
解：（1）延长交于，如图所示：
由题可知，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，即，
∴四边形矩形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，，则由勾股定理可得，
∴，
∴旗杆的高约为；
（2）设旗杆高度，用卷尺测得，将绳子拉直使其末端接触地面于点，用卷尺测得，如图所示：
∴，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
∴旗杆高度（）．
25. 如图，在正方形中，是边上一点，过点作交边于点．
（1）求证：；
（2）直接写出，与的数量关系；
（3）如图，连接．
如图，若，求证：；
如图，若，，求的长．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在中，由勾股定理得：，
同理：，
∴；
（3）解：如图，取中点，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，延长至，使，设，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，∴，
∴，
由勾股定理得：，解得：，
∴，
∴．