福建省莆田擢英中学2024−2025学年高一下学期4月份月考数学 试题（含解析）

这是一份福建省莆田擢英中学2024−2025学年高一下学期4月份月考数学 试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
7．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
8．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则或
C．若，则
D．若，，与向量夹角为钝角，则m取值范围为
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则符合条件的有两个
C．若为锐角三角形，且，则
D．若是钝角三角形，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知z是纯虚数，是实数，那么 .
13．设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cs2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为 _________ ．
14．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，设函数.
(1)写出函数的对称中心；
(2)若求函数的最值及对应的x的值；
(3)，若为奇函数，求m的值.
16．如图，在边长为2的菱形中.

(1)求；
(2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
17．已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
18．已知平面四边形如图所示，其中，，．
（1）若，，点为线段的中点，求的值；
（2）若，求的值．
19．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题，
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意，
故复数在复平面内对应的点在第二象限，
故选B.
2．【答案】C
【详解】由已知得，
故，
所以，
故选C.
3．【答案】C
【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，
得
.
故选C.
4．【答案】C
【详解】，，，
又，，，，为等边三角形，；
在上的投影向量为.
故选C.
5．【答案】A
【详解】由题可知，，，
因为①
②
①②求得
②①求得
.
故选A.
6．【答案】C
【详解】由，得，解得，
所以.
故选C.
7．【答案】D
【详解】由，得，
由余弦定理得，化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选D.
8．【答案】C
【详解】，
所以的单调减区间为，
所以，
所以，
解得，且，
则，则的取值范围是，
故选C.
9．【答案】AB
【详解】对于A选项： ，正确；
对于B选项：由向量数乘的定义知， ，故或，正确；
对于C选项：由于零向量与任意向量平行，若，则可为任意向量，故不正确；
对于D选项：若共线，则，
此时，与反向，向量夹角不为钝角，不正确；
故选AB．
10．【答案】ABD
【解析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.
【详解】由函数的图象可得，周期，所以，
当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，
故函数.
对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；
对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A选项：若，则，由正弦定理得，正确；
对于B选项：由全等三角形边角边定理知，符合条件的三角形只有一个，错误；
对于C选项：为锐角三角形，则，故，
由正弦函数的单调性知，正确；
对于D选项：是钝角三角形，不妨设为钝角，
则而均为锐角，
故，所以，
又，
所以，
即，正确；
故选ACD．
12．【答案】
【详解】设，则是实数，
所以，则.
13．【答案】[0，]∪[，π]
【详解】由题意可得，△=64sin2α﹣32cs2α≤0，
得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0
∴sin2α≤，
﹣≤sinα≤，
∵0≤α≤π
∴α∈[0，]∪[，π]
14．【答案】
【详解】依题意，，
在中，，则，
在中，，
所以山高；
依题意，且，，
在中，，在中，，
则
，
当且仅当，即时取等号，正切函数在上单调递增，
而，则当且仅当取得最大值时，最大，
所以当时，观测基站的视角最大.
15．【答案】(1)
(2)时，取得最大值；时，取得最小值.
(3)或.
【详解】（1）由题意可得
，
令，解得，
所以函数的对称中心为.
（2）由时，，
由正弦函数的单调性可知，
则当时，即时，取得最大值，
当时，即时，取得最小值.
（3）由题意可得为奇函数，
则，解得，
又，当时，；
当时，.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在菱形中，易知，，
所以
.
（2）在菱形中，，易知，
由，则，即，
所以
，
故，所以当时，取得最小值为.
17．【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.
18．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）依题意，，，故为等边三角形，
则，，，
因为，
由余弦定理，
得，得，得；
（2）设，则，在中，，
在中，，由正弦定理，，
即，所以，
解得，则．
19．【答案】(1)2
(2)7
(3)9
【详解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）设，则，
所以，
，
所以，
又，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是9．
【关键点拨】关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到.