福建省莆田市莆田擢英中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷【含答案】

这是一份福建省莆田市莆田擢英中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷【含答案】，共12页。试卷主要包含了下列求导计算正确的是，在等差数列中，，，则的值为，已知A，B是椭圆E，已知，，，则，对于三次函数，给出定义等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．下列求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
函数的图像大致为( )
A． B．
C． D．
5．已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是定义在上的可导函数，若∀有，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为( )
A．B．C．D．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
若数列为递增数列且数列也为递增数列，则称为“重增数列”.下列数列中，是重增数列的有（ ）
A． B． C． D．
10．若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方盒的容积最大B．方盒的容积没有最小值
C．方盒容积的最大值为D．方盒容积的最大值为
11．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中， ，满足 的动点 的轨迹为曲线 . 则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 既是中心对称又是轴对称图形
B．曲线 上满足 的点 有 2 个
C．
D．曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知各项都为正数的等比数列，若，则_______．
13．在平面直角坐标系中，椭圆C的中心在原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为___________.
14．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为______；
②计算________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.已知数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
16.设与是函数的两个极值点.
（1）试确定常数和的值；
（2）求函数的单调区间；
17.如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的动直线 l与C 交于P，Q两点.当轴时，，且直线的斜率之积为.
(1)求C的方程;
(2)求的内切圆半径r的取值范围.
19.定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12. 19
13.
14. (1) (12,1)
(2)2018
四、解答题
15．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意化简得到（n+1）an−nan−1=1（n≥2），得到数列n+1an为等差数列，进而求得数列的通项公式；
（2）由，得到，结合裂项求和及1n+1 + 1n+2>0，即可得证．
【详解】（1）解：由，可得，即（n≥2），
则数列是公差为1的等差数列。
又由a1=12，可得（1+1）a1=2a1-1，则，可得．
所以数列的通项公式是。
（2）解：由，则= n(n+2)+1n(n+2) =
所以n+121−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2
=n+34−121n+1+1n+2
因为+，所以n+34−121n+1+1n+2