福建省莆田市哲理中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市哲理中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．平面向量，若，则（ ）
A．6B．5C．D．
3．在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A．15B．12C．16D．20
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
6．已知正方形边长为1，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（ ）
A．B．C．D．4
10．已知，，则（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．向量在向量方向上的投影向量为
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，若，则 ．
13．已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： .
14．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量
(1)若，求及的值；
(2)若与平行，求实数的值；
(3)若与的夹角为，求实数的值.
16．已知复数．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)若z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若z是纯虚数，求实数m的值．
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)若中边上中线的长度为3，求面积的最大值.
18．如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上且满足,
(1)若，设，求的值；
(2)若，当时，求的值.
19．的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数，
所以，解得.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为，，
所以，解得，
所以，
因此.
故选B．
3．【答案】A
【详解】因为，，且的面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选A.
4．【答案】A
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】因为，
所以，且，
所以由余弦定理得，整理得，又，
所以，故是等边三角形.
故选B.
6．【答案】B
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，，，

当点P在上时，设，则，；
当点P在上时，设，则，；
当点P在上时，设，则，；
当点P在上时，设，则，，
所以的取值范围是.
故选B
7．【答案】B
【详解】解：如图所示，
在中，，
由余弦定理得，解得，
又由正弦定理得，
由知为锐角，所以，
所以.
故选B．
8．【答案】C
【详解】依题意设，
则，，，，
则.
故选C．
9．【答案】BCD
【详解】若满足条件的三角形有且只有一个，则或，即或.
故选BCD.
10．【答案】BCD
【详解】对A：，则，
，则，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：，
故与的夹角为，故C正确；
对D：，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】在中，
∵，则，整理得，所以，
由二倍角公式得，解得，
在中，则，故选项A正确；
在中，则，故选项B错误；
由题意可知：，即，
由，解得，故选项C正确；
在中，
∵，则，
∴，故选项D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
13．【答案】
【详解】与所成的角为钝角即且与不平行，
即，
所以.
14．【答案】3
【详解】因为，，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以的最小值为3.
15．【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，
所以，
所以；
（2）因为，所以，
因为与平行，所以，解得；
（3）因为与的夹角为，，
所以，
所以，解得.
16．【答案】(1)或
(2)且
(3)
【详解】（1）若z是实数，则，解得或．
（2）若z是虚数，则，解得且．
（3）若z是纯虚数，则解得．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，
由正弦定理得，，
所以，
又因，则，
所以，
因A为的内角，所以，
由得，则.
（2）因是中边上中线，
则，
即，所以，
则，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
故，即面积的最大值为.

18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
又，所以，，
所以.
（2）由题意得，
，且
所以，
解得
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由余弦定理可得，
由正弦定理得，
又因为，
则有，
因为，，则，
且，故．
由余弦定理，，代入得，
因为，则有，即得，
故的面积．
（2）由正弦定理，，可得，且，
代入化简得．
因为为钝角，故由，可得，
则，，即，
故的取值范围是.