河南省郑州市第十九高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份河南省郑州市第十九高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则复数（ ）
A．B．C．1D．
2．如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（ ）

A．B．
C．D．
3．已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．已知平面向量与的夹角为，且，则（ ）
A．1B．C．2D．3
5．下列命题：①向量与都是单位向量，则；
②在中，必有；
③四边形ABCD是平行四边形，则；
④若向量与共线，则存在唯一的实数使．
其中正确的是
A．①②B．②③C．③④D．①④
6．已知中，，那么满足条件的（ ）
A．有两个解B．有一个解C．无解D．不确定
7．一艘船向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东方向上，航行后到B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S的距离（即BS的长）为（ ）

A．B．C．D．
8．在中，角B，C所对的边分别为b，c，点O为的外心，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．若为纯虚数，则
10．若向量，，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量为D．与的夹角为
11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是的重心
B．若，则点在边的延长线上
C．若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则
D．若，且，则的面积是面积的
三、填空题（本大题共3小题）
12．若复数（为虚数单位，），满足，则的值为 ．
13．与的夹角为锐角，的取值范围为 ．
14．如图，在中，，，直线交于点，若则 .

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数，其中.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围.
16．已知向量、满足，，且与的夹角为，
（1）求的值；
（2）当为何值时，？
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围.
18．如图，在中，为边上一点，且.
(1)求；
(2)若，求.
19．在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为.
(1)已知，，求；
(2)①已知，的夹角为，且，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求.
参考答案
1．【答案】D
【解析】本题根据复数的除法运算直接计算即可.
【详解】解：因为，所以
故选D.
2．【答案】C
【详解】∵为的中点，∴，
∴，
∵，∴，
则．
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为､是平面内所有向量的一组基底，则､不共线，
对于选项A：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误；
对于选项B：因为，
可知和共线，不能作为基底向量，故B正确；
对于选项C：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误；
对于选项D：若、共线，则，
可得，无解，
所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误；
故选B.
4．【答案】C
【详解】由两边平方，得：，
又向量与的夹角为，且，
，即: ,
解得：或（舍去），
故选C．
5．【答案】B
【解析】由相等向量的定义,向量的加法法则,平面向量的共线定理,即可判断出结果.
【详解】解析：②③显然正确与都是单位向量，则，但方向可能不同，①不一定成立；当时，实数不唯一，④不一定成立．
故选B．
6．【答案】A
【详解】由题可知：∵，
∴．
∴A有两个解即满足条件的有两个解．
故选A．
7．【答案】B
【详解】，
，
.
故选B.
8．【答案】A
【详解】在中，取边的中点，连接，，
因为点O为的外心，
所以，
所以,
所以
，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最小值，
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，复数在复平面内对应的点的坐标为，而点位于第四象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，若为纯虚数，则，即，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ABC
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，又，所以，故B正确；
对于C，易得，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，
又，所以，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】ACD
【分析】对于A，只需证明即可；对于B，我们只需证明，进而说明点并不在射线上；对于C，我们先设的内心为，然后证明和重合；对于D，我们只需求出两个三角形面积对比即可.
【详解】对于A，，即，
则，
所以点是的重心；
对于B，若，则，
所以点在边的反向延长线上，故B错误；
如图对于C，延长到，使，同理，
因为，所以，
以为邻边作平行四边形，所以，则，即，
因为，
同理，
，
所以，故C正确；
如图对于D，设为中点，
，所以，即，
由，所以，所以三点共线，
所以.故D正确.
故选ACD.
【关键点拨】向量之间的加减法运算和内积运算，以及内积关于加法的分配律及数形结合是解决本题的关键.
12．【答案】
【详解】由得.
13．【答案】
【详解】若向量与的夹角为锐角，
则且向量与不平行，
，得，
当向量与平行时，，
所以的取值范围为.
14．【答案】/0.6
【详解】由题可知，三点共线，由共线定理可知，
存在实数使得,
又，所以，
又三点共线，所以，解得，
即可得，所以，
所以，即，可得，
又，即可得.
15．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为复数，为纯虚数，
所以，解得，
所以，当为纯虚数时，.
（2）解：复数，在复平面内对应的点在第一象限，
所以，解得或.
故的取值范围是.
16．【答案】（1）；（2）
【详解】解：因为，，且与的夹角为，所以
所以
（2）若，则，即，即，解得
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得.
可化为，即.
即
又则，，故.
（2）由可得
即，当且仅当时取等号，可化为，则.
又由三角形三边关系可得，即.
故，故三角形周长的取值范围是.
18．【答案】(1)6；
(2)3.
【详解】（1）设，则，
由余弦定理可得，
即，得，
所以.
（2）由，得，则.
由正弦定可得，解得.
由余弦定理得，
即，而，所以.
19．【答案】(1)1
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）①因为
，
且，，则，所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点P为的重心，则，
可得，，
则，
，
，
可得，
所以.