河南省漯河市高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份河南省漯河市高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．设则下列选项不正确的是（ ）
A．
B．时，在上单调递减
C．时，在上单调递减
D．的值域为
7．已知的外接圆圆心为，且， ，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数为奇函数，则（ ）
A．6B．C．5D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为B．的虚部为
C．D．在复平面内对应的点在第三象限
10．已知，，且则下列选项正确的是（ ）
A．且B．
C．D．
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数 .
13．若是函数两个相邻的零点，则的值为 ．
14．如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数（）．
(1)若的实部与的模相等，求a的值；
(2)若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
17．已知平面向量，.
（1）若，且，求的坐标；
（2）当为何值时，与垂直；
（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．已知函数.
(1)若是三角形的一个内角，，求的值；
(2)设函数，若在时恒成立，求实数m的取值范围.
19．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，
且，
所以.
故选A
2．【答案】B
【详解】依题意有：，
故选B.
3．【答案】A
【分析】根据向量加法及数乘向量运算求解即可.
【详解】.
故选A.
4．【答案】D
【详解】因为，由正弦定理可得，
即，所以
所以或，
又因为，，为三角形内角，所以或，
即的形状为等腰三角形或直角三角形，
故选D.
5．【答案】C
【详解】因为，所以或，
当时，则，同向共线，
则，则充分性不成立，
若，则，反向共线，
则，此时，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选C.
6．【答案】C
【详解】对于A，，故A正确；
对于B、C，因为，
所以当时，函数单调递减，则函数单调递增，所以在上单调递减；
当时，函数单调递增，则函数单调递减，所以在上单调递增.
故B正确，C错误；
对于D， ，因为，所以，
所以.故D正确.
故选C.
7．【答案】A
【详解】
因为，所以是的中点，
因为的外接圆圆心为，所以为圆的直径，
又，则，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选A.
8．【答案】B
【详解】函数图象先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数的图象，
因函数为奇函数，则的图象关于中心对称，
则，
则
故选B
9．【答案】ACD
【详解】由，得，
所以的实部为的虚部为，
在复平面内对应的点在第三象限，
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，由得，，
则，解得，，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，
又，所以，
当且仅当时，，故C错误；
对于D，，解得，当且仅当，即时等号成立，
所以，故D正确；
故选ABD．
11．【答案】ACD
【详解】解：对于A选项，因为，
所以由正弦定理，得,即 ，
因为，所以，且，所以，A选项正确；
对于B选项，由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,
故 ,解得，所以选项B错误；
对于C选项，由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，
所以 ，即，解得，
所以，故选项C正确；
对于D选项，因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，即，
因为，所以，即，
又因为，所以，， ，，即是直角三角形，
所以内切圆的半径满足，即，
所以的面积为，选项D正确.
故选ACD.
12．【答案】2
【详解】方法一：因为实系数元二次方程的一个虚根为，所以该方程的另外一个根为：，
根据韦达定理：.
方法二：因为是关于的一元二次方程的一个虚根，
所以.
13．【答案】
【详解】由题意得函数的最小正周期
，解得．
14．【答案】
【详解】因为 三点共线，且，点是边的中点，
所以存在实数x满足，
又因为三点共线，所以，
所以，而，
且，
所以
.
15．【答案】(1)或4
(2)
【详解】（1）因为的实部与的模相等，
所以，
化简为，
解得或4．
（2）复数在复平面上的对应点为在第四象限，
所以，
故的取值范围为．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得.
因为，所以，.
化简得.
在中，由余弦定理得.
又因为，所以.
（2）由，可得，
又，所以，得到，即，
所以，
，又，
由正弦定理得，得到，
解得，，
故的周长为.
17．【答案】（1）或；（2）；（3）.
【解析】（1）设，由向量平行和向量的模列出方程组可解得，得向量的坐标；
（2）由可求得；
（3）由求出的范围，去除两向量共线的情形即得．
【详解】（1）设，，
因为，所以，因为，所以，
解得：或，所以或.
（2），，
因为与垂直，所以，解得：.
（3），，
因为与的夹角为锐角，所以解得：且，
即.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
两边平方得，所以，
又因为，所以，
则，
，
所以；
（2），
令，因为，所以
所以，
则，则，
令，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
则时，取得最大值，
此时取得最小值，
所以，所以.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
（2）由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（3）方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.