河南省郑州市中牟县锐瀚高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份河南省郑州市中牟县锐瀚高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．适合的实数，的值是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
3．已知在中，点在边上，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，下列各式中正确的是
A．B．C．D．
6．已知两点，，若，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在边长为的正三角形中，的值为
A．B．C．D．
9．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
10．若复数，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．复数的虚部为D．复数在复平面内对应的点在y轴上
11．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．在中，若，，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知复数已知的实部与的虚部相等，则实数
14．若向量与向量的夹角为则
15．已知，且，求
16．在中，，则
四、解答题（本大题共5小题）
17．已知平面内四个点的坐标，计算下列问题：
(1)用坐标表示，；
(2)用坐标表示.
18．设复数
(1)求
(2)求
(3)求
19．在平面直角坐标系中，的顶点分别是平面内存在一点B使得四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形.
(1)求B点坐标
(2)猜测AC与BD的位置关系并证明
20．（1）若，求和的值.
（2）若，在（1）的条件下，求
21．在中，内角，，的对边分别为，，，且；
(1)求；
(2)若的面积为，，求.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，，
在复平面内对应的点为，在第一象限，
故选A.
2．【答案】C
【详解】，
若，则，故，，满足要求，
若，则，则，无解，
综上，且，C正确
故选C
3．【答案】A
【详解】在中，，又点在边上，且，
则，
故选A.

4．【答案】A
【详解】由正弦定理可得，又，，，
所以，所以，
又，所以，
所以，
故选A.
5．【答案】D
【详解】试题分析：虚数不可比较大小，模可以比较大小，，，
考点：复数的模的计算
6．【答案】A
【详解】设，则，，
又，所以，
即，解得，
所以点的坐标是.
故选A.
7．【答案】C
【详解】设所对的边为，由余弦定理,
又，，所以，
即，解得，
故选C.
8．【答案】D
【详解】以、为邻边作菱形，则，
由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍，
即，因此，，故选D.

9．【答案】B
【详解】因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以，则，
因为，
所以，
因为A，B，C不共线，
所以，解得，
故选B.
10．【答案】ABD
【详解】由复数，
对于A中，复数z的共轭复数为，所以A正确；
对于B中，复数的模为，所以B正确；
对于C中，复数的虚部为，所以C不正确；
对于D中，复数在复平面内对应的点的坐标为，落在y轴上，所以D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】BD
【详解】∵是三角形内角，
∴，
∴，
由得，
,故BD正确，AC错误，
故选BD.
13．【答案】
【详解】复数的实部为1，复数的虚部为，
则，解得.
14．【答案】
【详解】因为，向量与向量的夹角为，
所以.
15．【答案】
【详解】因为，且，所以，解得.
16．【答案】
【详解】由余弦定理，得，即,
整理得，解得或(舍去)，
所以.
17．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，
所以，.
（2），
由（1）得，，
所以.
18．【答案】(1)2
(2)
(3)1
【详解】（1）
（2）
（3）
19．【答案】(1)
(2)与互相垂直，理由见解析
【详解】（1）因为四边形ABCD是顶点逆时针标注的平行四边形，所以，
设，又因为，所以，
所以，解得，所以B点坐标为；
（2）猜测AC与BD互相垂直，理由如下：
由（1）可知，
所以，所以，所以AC与BD互相垂直.
20．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，则，解得，
所以和的值.
（2）由（1）知，又，则.
21．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，
又，故，
所以，
若，则，与矛盾，故，
所以，故，
所以，
（2）由的面积为，可得，
由（1），又，
所以，
由余弦定理可得，
所以，
所以.