2024-2025学年河南省郑州市中牟县锐瀚高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州市中牟县锐瀚高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=4+3i，则|z|=( )
A. 5B. −5C. 7D. − 7
2.若实数x，y满足x+yi=1+2i，则xy=( )
A. −2B. 1C. 2D. 3
3.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A. 平面α内有一条直线与平面β平行B. 平面α内有两条直线与平面β平行
C. 平面α内有无数条直线与平面β平行D. 平面α内有两条相交直线与平面β平行
4.已知球的半径为2，则该球的体积为( )
A. 4π3B. 32π3C. 4πD. 16π
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a= 6，b=2，且A=π3，则B=( )
A. π10B. π3C. π6D. π4
6.下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是( )
A. A∉lB. A⊂αC. α∩β=lD. A∈α
7.已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是( )
A. 2πB. 5πC. 8πD. π
8.在△ABC中，E是BC靠近B点的三等分点，AE=( )
A. 23AC+13AB
B. 12AC+12AB
C. 13AC+23AB
D. 34AC+14AB
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面的说法正确的是( )
A. 平面面积可以为4cm2 B. A∈a，B∈a，A∈α，B∈α⇒a⊂α
C. 三点确定一个平面 D. 两条平行直线只能确定一个平面
10.下列关于平行的说法正确的是( )
A. 空间中平行于同一条直线的两直线平行
B. a、b、c是空间中的三条直线，若a⊥b且b⊥c，则a//c
C. α//β，a⊂α，b⊂β⇒a//b
D. a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α
11.已知a=(1,2),b=(2,4)，则( )
A. a+b=(3,6)B. a⊥bC. b=2aD. a⋅b=10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|= 2,|b|=2 2，a与b的夹角为π3，则a⋅b=______．
13.已知向量a=(4,2),b=(x,3)，且a//b，则x=______．
14.若圆锥的底面半径为1、高为 3，则圆锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D的坐标分别是B(−1,3)，C(3,4)，D(2,2)．
(1)用坐标表示BC；
(2)求DC−DB的模长；
(3)求顶点A的坐标．
16.(本小题15分)
设复数z1=3−mi，z2=1+2i．
(1)若z1+z2是实数，求m的值；
(2)若m=1，求z1⋅z2；
(3)若z1为实数，求|z1z2|．
17.(本小题15分)
使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB
(2)点B与直线AD
(3)点P与直线BC
(4)点D1与平面AC
(5)直线AD与平面AC
(6)直线DC与平面D1B1
(7)平面AC与平面A1C1
18.(本小题17分)
如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)连接AC，则形成一个三棱锥A−BCD，若三棱锥的底面是边长为1的正三角形，并且三棱锥的高为2，求三棱锥A−BCD的体积．
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A≠π2，已知b2+c2−a22=csA．
(1)求bc．
(2)若csA= 3sinA，求△ABC面积．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.D
6.B
7.A
8.C
9.BD
10.AD
11.ACD
12.2
13.6
14. 33π
15.(1)因为B(−1,3)，C(3,4)，
所以BC=(4,1)．
(2)因为B(−1,3)，C(3,4)，D(2,2)，
所以DC=(1,2),DB=(−3,1)，
所以DC−DB=(1,2)−(−3,1)=(4,1)，
所以|DC−DB|= 42+12= 17．
(3)设点A坐标为(x,y)，则DA=(x−2,y−2)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以DA=(x−2,y−2)=−BC=(−4,−1)，
则x−2=−4y−2=−1，
解得x=−2，y=1，
即点A坐标为(−2,1)．
16.(1)复数z1=3−mi，z2=1+2i，
则z1+z2=3−mi+1+2i=4+(2−m)i，
由于z1+z2是实数，故2−m=0，∴m=2；
(2)当m=1时，z1⋅z2=(3−i)(1+2i)=5+5i；
(3)若z1=3−mi为实数，则m=0，
故z1z2=31+2i=3(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3(1−2i)5，
故|z1z2|= (35)2+(−65)2=3 55．
17.(1)因为点P在直线AB上，所以P∈直线AB；
(2)因为点B不在直线AD上，所以B∉直线AD；
(3)因为点P不在直线BC上，所以P∉直线BC；
(4)因为点D1不在平面AC内，所以D1∉平面AC；
(5)因为直线AD在平面AC内，所以直线AD⊂平面AC；
(6)因为直线DC与平面D1B1平行，所以直线DC//平面D1B1；
(7)因为平面AC与平面A1C1平行，则平面AC//平面A1C1．
18.(1)证明：因E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
则EH//BD，FG//BD，且EH=FG=12BD，
所以EH//FG且EH=FG，
则四边形EFGH是平行四边形；
(2)由题意知，三棱锥A−BCD的体积为VA−BCD=13× 34×12×2= 36．
19.(1)因为b2+c2−a22=csA，由余弦定理可知csA=b2+c2−a22bc，
整理得(b2+c2−a2)(bc−1)=0，
又A≠π2，即b2+c2−a2≠0，
所以bc−1=0，
解得bc=1；
(2)因为csA= 3sinA，则tanA= 33，
在△ABC中，A∈(0,π2)∪(π2,π)，
可得A=π6，
由(1)知bc=1，
所以△ABC面积S=12bcsinA=12×1×12=14．