河北省新乐市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省新乐市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（每小题5分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 单位向量均相等B. 单位向量
C. 零向量与任意向量平行D. 若向量，满足，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论；
对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论.
【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；
对于B：单位向量.故B错误；
对于C：零向量与任意向量平行.正确；
对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.
故选：C
2. 设是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合共线向量的表示以及平面基底的定义与判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，所以向量与共线，所以A不符合题意；
对于B中，设，可得，所以向量与共线，所以B不符合题意；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量与不共线，可以作一个平面基底，所以C符合题意；
对于D中，设，可得，所以向量与共线，所以D不符合题意.
故选：C.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用向量的坐标的线性运算求，再根据垂直关系的坐标表示列方程求参数.
【详解】由，又，
所以，
则.
故选：B
4. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.
【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以.
故选：D.
5. 在中，已知，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理得出，再根据大边对大角求解即可．
【详解】设，则，
由正弦定理得，，解得，
因为，所以，则或，
故选：C．
6. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若则，共线，故充分性成立；
若，共线，不一定得到，
如，，显然满足，共线，
但是不存在实数使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共线”的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，结合平面向量的线性运算法则，化简计算可得出的表达式.
【详解】由，得
，
故选：C.
8. 已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先可以根据与共线得出，然后将转化为，通过基本不等式即可得出结果.
【详解】因为与共线，，，
所以，即，
则，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】用降幂公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状．
【详解】在△ABC中，因为，所以，所以cs A＝.
由余弦定理，知，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
故选：A．
10. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
11. 设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积结合投影向量求解即可.
【详解】因为，所以
又因为，，所以
向量在向量上的投影向量为：
故选：D.
12. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形面积为，得到，利用余弦定理得到，最后根据正弦定理求.
【详解】由，得，
因为，，所以.
由余弦定理得，解得，
所以.
故选：C.
13. 已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解.
【详解】方法一：因为共线，
设，
即，
则，解得，
所以
方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是，
易得，
则在边上的投影是，
所以；
方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，

则，
设，
因为共线可得，解得，
即，可得，
所以.
故选：A.
14. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案.
【详解】连接，如下图所示：

因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点，
所以 ，
所以
.
当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立，
因此， 的最大值为
故选：C.
二、多项选择题：每小题6分．
15. 已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 已知，若，则D. 与夹角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误.
【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误；
对于B，，可得，可得B正确；
对于C，由且可得，解得，即C正确；
对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误.
故选：BC
16. 下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若动点P满足，则点P为的重心
C. 若且，则
D. 若非零向量，满足，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，当时，不满足题意，即可判断；对于B，由题意可得(为中点)，即可判断；对于C，由题意可得，即可判断；对于D，由题意可得，即可判断.
【详解】解：对于A，因为零向量与任何向量平行，当时，不满足题意；故错误；
对于B，因为，
所以，即，
取中点，连接，
则，
所以，
所以点P为的重心，故正确；
对于C，因为且，
所以，
所以或，即，
所以或，故C错误；
对于D，因为非零向量，满足，
所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
17. 如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量线性运算以及三角形相似的性质对选项逐一计算即可求解.
【详解】易知，所以，因此A错误；
显然，可得B正确；
，所以C正确；
因为为上靠近的三等分点，所以，利用可得；
所以，即D正确.
故选：BCD
18. 已知向量，其中m，n均为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 与的夹角为钝角B. 向量在上的投影向量为
C. D. mn的最大值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A：根据数量积的符号分析向量夹角；对于B：根据投影向量的定义运算求解；对于C：根据向量共线运算求解即可；对于D：利用基本不等式运算求解即可.
【详解】对于A，向量，则，
又因为，可知不共线，
所以的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为，
所以向量在上的投影向量为，B错误；
对于C，因为，，
若，则，整理可得，C正确；
对于D，因为，且m，n均为正数，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以mn的最大值为2，D正确．
故选：CD.
19. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.
【详解】，
由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
为三角形内角，，
∴，∵，，故A正确，B错误；
∵，，
，解得，
由余弦定理，得，
解得或（舍去），故D正确，C错误.
故选：AD.
三、填空题：每小题5分
20. 已知，则方向上单位向量的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单位向量的定义直接可得解.
【详解】由已知，
则，
则方向上的单位向量为，
故答案为：.
21. 已知，，则的最大值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据向量模长的三角不等式求解即可．
【详解】，当且仅当与同向时取等号，
故答案为：6．
22. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用数量积的运算律和向量的夹角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，，所以，所以，
设向量与的夹角为，则，
又，所以，
即向量与的夹角为，
故答案为：
23. 如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】借助共线定理的推论即可得.
【详解】因，所以，
所以，
因为P，B，N三点共线，所以，解得.
故答案为：.
24. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH内角和为1080°，若（，），则的值为____________；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为____________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由即可求得的最小值.
【详解】，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，

正八边形内角和为，则，
所以，，，，，，，
，，，
因为，则，
所以，解得，，所以；
设，则，，，则，
所以，当点P在线段GH上时，取最小值．
故答案为：；．
四、解答题：25题10分．26题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求C的大小；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后由三角函数恒等变换公式化简可求出C的大小，
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得三角形的面积
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以,
所以，
因为，所以，
因为，所以
【小问2详解】
由余弦定理得
，
所以，
所以，解得，
所以
26. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，).
（1）当时，用向量，表示向量；
（2）求||最小值，并指出相应的实数λ的值.
【答案】（1）＋
（2），
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解即可；
（2）用向量，表示向量，应用数量积运算先求的最小值，即可求出.
【小问1详解】
解：因为当时，＝，
所以＝ (＋)
＝ [(－)＋(＋)]
＝
＝＋
【小问2详解】
因为＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋
＝＝，
因为，所以当λ＝时，||2有最小值，
即||有最小值.