江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析）

这是一份江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､学校､班级､考生号填写在答题卡上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔吧答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数的导数为，则＝（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出导函数，再代入求值即得.
【详解】则.
故选：D.
2. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数几何意义求解作答.
【详解】因曲线在点处的切线方程是，
对函数求导得：，所以，.
故选：B
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.
【详解】，所求切线斜率，
所求切线方程为：，即.
故选：A.
4. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案.
【详解】由图象可得，
当时，由得，在上单调递增，
当时，由得，在上单调递减，
当时，由得，在上单调递减，
综上，函数 的增区间为.
故选：B.
5. 过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.
【详解】因为，所以，
设所求切线的切点为，则，
由题知，，解得，所以切线斜率为，
故所求切线方程为.
故选：C.
6. 若函数在处有极大值，则常数c为（ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. -1或-3
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出 值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的值舍去．
【详解】函数，，
由题意知，在处的导数值为，
，或，
又函数在处有极大值，
故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
导数值在处左侧为负数，右侧为正数．
故．
故选：B．
7. 函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
8. 若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，确定，由的最小值为，可求出，即可得出的解析式，进一步求出函数的零点.
【详解】因为函数的导数，所以，为常数，
设，则恒成立，在上单调递增，
即在上单调递增，又，
故当时，，即单调递减，
时，，即单调递增，
所以在处取得最小值，即，所以，
所以，由，
令，解得，所以的零点为.
故选：C.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用题给条件求得实数m的取值范围，进而得到实数m的可能取值.
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以，，
令，，则，
可知为增函数，当时，有最小值，
故实数m的取值范围为，
故选：AB.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由常数导数为零解得即可；对于B，因为，所以，所以选项B错误；对于C、D，由复合函数求导法则可解出判断即可.
【详解】对于A，由，为常数，所以，故选项A正确；
对于B，由，为常数，所以，故选项B不正确；
对于C，由，根据复合函数求导法则，，
故选项C正确；
对于D，由，根据复合函数求导法则，
，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 若函数，其导函数为 ，则下列说法正确是（ ）
A. 函数 没有极值点B. 是奇函数
C. 点 是函数 的对称中心D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过原函数的导函数恒正推得原函数的单调性易得A项正确；对导函数运用奇函数的定义构造，推理出结果恒不为零，故B项不成立；运用成立即得C项；最后D项，是通过分类讨论分析，从函数的值域上判断结论成立.
【详解】对于A项，由函数求导得：，显然，即在R上为增函数，故函数没有极值点，即A项正确；
对于B项，记，由 可知函数不是奇函数，故B项错误；
对于C项，由可知函数的图象关于点成中心对称，故C项正确；
对于D项，当时，因，则，从而，，即，此时满足；
当时，因，则，从而，，即，此时满足.
综上可得：恒成立，故D项正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知函数的极大值点为，极小值点为，则等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】对求导，得到，进而求出的解，再利用极值的定义，即可求解．
【详解】因为，则，
令，得到，解得，，
当时，，时，，时，，
即在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以是极大值点，是极小值点，
得到，
故答案为：.
14. 已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由在上存在零点，可转化为方程在上有解，求出在上的范围即可得.
【详解】由，在存在零点，
即在上有解，
令，，则恒成立，
故在上单调递增，故，
即，
令，，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，当时，，
即有，故，即实数a的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键在于将题意转化为方程在上有解后，构造出函数，及，，从而求出的最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象在点处的切线方程是.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据切线的方程可得，即可求解，
（2）求导，得函数的单调性，即可比较端点值以及极值点处的函数值得最值.
【小问1详解】
，，
所以，解得，
【小问2详解】
由（1）得，
当，令，解得或，
故在和单调递增，在单调递减，
又，，
，
由于，，
所以
16. 已知函数
（1）当时，求在上的最值；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）最大值为32，最小值为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数求解函数的单调区间，即可求解极值点以及端点处的函数值，比较大小即可，
（2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负求解.
【小问1详解】
因为，所以．
当时，，当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为，
所以在上最大值为32，最小值为．
【小问2详解】
因为，
所以
令，得或．
当，即时，由，解得或，由，解得．
当，即时，恒成立．
当，即时，由，解得或，由，解得．
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可;
（2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数有三个不同的零点，只需满足计算即可.
【小问1详解】
当时，，．
所以，，
所以切线l：，即
【小问2详解】
令，得或．
当或时，；当时，．
∴的增区间为，；减区间为．
∴的极大值为，的极小值为．
∴，解得：．
此时，，所以函数有三个不同的零点，所以．
18. 设，函数，．
（1）若，求的最小值与的最大值；
（2）若在上恒成立，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求导，再利用导数分别求出最值即可；
（2）令，则在上恒成立，只要恒成立，分类讨论，利用导数求出的最小值即可得解.
【小问1详解】
若，，，
，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，，
，当时，，当时，，
所以函数函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
【小问2详解】
令，则在上恒成立，
，
当时，，
所以函数在上单调递增，而，
所以当时，在上不恒成立，
当时，若，则，
故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
综上，只需，得，
综上所述，.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离参数，得，构造函数，求导得函数的单调性，即可结合函数的图象和性质求解，
（2）将式子变形后构造函数，得，即可利用函数的单调性得，构造函数，将问题转化为，利用导数求解单调性，进而可求证.
【小问1详解】
由已知函数的定义域为，
由，得，
令函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在单调递减，
所以，
因为，
可知函数的图象如下所示：

所以当时，函数的零点个数为0个，当或时，函数的零点个数为1个，当时，函数的零点个数为2个.
【小问2详解】
由题设方程，即，
所以，
令，得，
又在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，
由已知，方程有两个实根，
即有两个实根，由（1）得.
令，
所以
令，所以有两个实根，
先证.
因为，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，要证，即证，
因为在上单调递减，只需证，
即证.
令，
，
因为，
令，
可知函数在上单调递增，所以，所以，
所以，即在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以成立，
即成立，又，且在上单调递减，
所以，所以，即，所以，
所以，即.
【点睛】本题考查了导数的综合运用,利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.