江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第一次学情调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第一次学情调研数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
2. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A. B.
C. (3，2)D. (1，3)
【答案】A
【解析】设顶点的坐标为
，，且，
.
故选：．
4. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，知，故，
从而.
所以.
故选：D.
5. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】∵与是共线向量，
∴存在实数，使得，即，
已知是两个不共线向量，则有，解得.
故选：A.
6. 已知分别是的边､､的中点，且，，，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A选项，，A正确.
对于B选项，，B错误.
对于C选项，，C正确.
对于D选项，
，D正确.
故选：B.
7. 已知，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以
.
故选：D.
8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记，则，，
，
，，
所以当，时，取最小值.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A. B. 若且，则
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；
对于选项B，由，得，又，所以或，
故选项B错误；
对于选项C，因为不共线，
所以组成三角形的三边，所以，故选项C正确，
对于选项D，，
故选项D正确.
故选：ACD.
10. 下列计算中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 都是锐角，，则
【答案】AD
【解析】对于A，因为，正确，
对于B，当时，，错误，
对于C，当时，，错误，
对于D，因为都是锐角，则，又，则，，
所以
，正确.
故选：AD.
11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，则不与垂直
B. 、为实数，若，则与共线
C. 若平面内有四个点，则必有
D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
【答案】CD
【解析】对于选项A，若，则有，
此时与垂直，所以选项A错误，
对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误，
对于选项C，因为，
即，所以选项C正确，
对于选项D，因为分别是与同向的单位向量，
又，且为的中点，知，即，
所以是在上的投影向量，故选项D正确.
故选：CD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算＝________.
【答案】1
【解析】＝＝tan 45°＝1.
13. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______．
【答案】±2
【解析】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，，
则，解得.
14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】如图，为圆心，连接，
则
，
因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值.
所以，所以，
则，即的取值范围是.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在中，，，．求：
（1）的值；
（2）．
解：（1）
.
（2）因为
，
所以，
所以.
16 已知点，，，求：
（1）的值；
（2）的大小；
（3）点A到直线BC的距离．
解：（1）依题意，得，
，
.
（2）因为，
又，所以.
（3）点A到直线BC的距离为．
17. 已知向量，其中，且．
（1）求的值；
（2）若，且，求角的值．
解：（1）因为，所以，即，
又，得到，代入，
得到，又，所以.
（2）由（1）得，，
，
因为，，所以，
因为，所以，，
所以，
所以.
18. 如图，某企业的两座建筑物AB，CD的高度分别为20m和40m，其底部BD之间距离为20m．为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备，投影到建筑物CD上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF为，投影幕墙的高度EF越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α，幕墙的高度EF为y（m）．
（1）求y关于α的函数关系式，并求出定义域；
（2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF的高度．
解：（1）由AB=20m，CD=40m，BD=20m可得，∠CAG=，∠GAD=，
又投影设备的投影张角∠EAF为，所以，
所以G一定在EF上，所以，
所以．
（2）当投影的图像最清晰时，幕墙EF的高度最小，即求y的最小值，
由（1）得
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
又，所以满足题意，
此时，．
答：当时，投影的图像最清晰，此时幕墙EF的高度为m．
19. （1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度
（2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度．
（3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．
解：（1）因为，所以，
又与的夹角为，
所以，
故.
（2）因为①，②，
由①②得，所以，
又与的夹角为，所以，
得到.
（3）因为与的夹角为，
又由（2）知①，②，
所以
，
得到，所以，
又，，
所以向量与向量夹角的余弦值为.