江苏省连云港市灌云县、灌南县部分学校2024-2025学年高二下学期3月学情调研测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省连云港市灌云县、灌南县部分学校2024-2025学年高二下学期3月学情调研测试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由分类计数原理得，不同的选法种数为：，
故选：A
2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】C
【解析】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为，
所以，解得 .
故选：C
3. 甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 24
【答案】D
【解析】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种，
其他人听不同的讲座，方法数有种，
所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座种数为种.
故选：D.
4. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A. 0B. C. 9D.
【答案】D
【解析】因为不能构成空间的一个基底，则它们共面，则，
则，
，解得，D正确.
故选：D
5. 数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ）
A. 24个B. 12C. 9个D. 6个
【答案】C
【解析】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数，
当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数，
所以组成不同的三位数有9个.
故选：C
6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】向量在向量上的投影向量为，
故选：C.
7. 在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，，，
，则方向的单位向量，
那么，
所以F到直线AE距离，
故选：D．
8. 某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ）
A 216种B. 240种C. 288种D. 384种
【答案】D
【解析】由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，
乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，
所以6人的名次排列情况可能有种．
故选：D．
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B. 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；
对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；
对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；
对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；故选：ABD．
10. 在正方体中，下列结论中正确的是（ ）
A. 四边形的面积为
B. 与的夹角为
C.
D.
【答案】AC
【解析】A选项：由正方体可知平面，所以，所以四边形为矩形，，A选项正确；
B选项：由正方体可知，所以与的夹角即为与的夹角，又，所以，所以与的夹角为，B选项错误；
C选项：由设正方体的棱长为，则，，
所以成立，C选项正确；
D选项：由已知得，，则，D选项错误；故选：AC.
11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
C. 存在点，使得平面
D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧
【答案】ABD
【解析】不妨设正方体的棱长为，
对于A选项，，
三棱锥的体积，
点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确；
对于B选项，取、中点，连接、、、，
由且，知是平行四边形，所以，
因为平面，平面，平面，
同理可得平面，
因为，、平面，所以平面平面，
又平面，则平面，而Q在平面上，
且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确；
对于C选项，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
若平面，则，即存在，使得，则，
解得，故不存在点使得平面，故C选项错误；
对于D选项，平面的一个法向量为，，
若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是，
所以，所以，
因为点为正方形内一动点（含边界），
所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则的值是_____
【答案】
【解析】因为向量，，且，
所以，
解得，所以.
故答案为：.
13. 将个相同的红球个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有__________种（数字作答）.
【答案】
【解析】若一个盒子中放个红球，另一个盒子中放个黑球、个红球，则有种不同的方法；
若一个盒子中放个黑球，另一个盒子中放个红球、个黑球，则有种不同的方法；
若两个盒子中一个盒子放个红球，另一个盒子放个黑球，则有种不同的方法；
若两个盒子中都放个红球、个黑球，则有种方法.
故不同的放法有种．
故答案为：.
14. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为____ ．（以数字作答）
【答案】288.
【解析】∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节，∴先排数学课有种排法，
再排最后一节有种排法，剩余的有种排法，∴根据分步计数原理知共有=288种排法.
四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：

（1）；
（2）．
解：（1）依题意，底面为正六边形，连接对角线且交点记为，如图：

，
，
由，则，
由，则，
，，
.
（2）由（1）知，
因此
，所以.
16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
解：（1）先排丙、丁、戊，有种站法，再插空排甲、乙，有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有种．
（2）若乙站在排头或排尾,则有种站法,若甲、乙都不站排头或排尾,则有种站法,故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种．
17. 在四棱柱中,底面菱形,且.
（1）求证:平面平面 ;
（2）若,求平面与平面所成角的大小.
解：（1）在四棱柱中，底面是菱形，
由，得和均为正三角形，
于是，令与的交点为，则，又，
而平面，因此平面，而平面，
所以平面平面.
（2）由及，得，，
则，
，，于是，
由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
平面的法向量为，
设平面设平与平面所成角为，
则，则，
所以平面与平面所成角的大小为.
18. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点．
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
（3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
解：（1）在图1的等腰直角中，为的中点，则，
所以在图2中，有，，
又，平面，所以平面，
又平面，可得；
因为平面，所以是二面角的平面角，即，
所以为正三角形，因为为的中点，所以，
又平面，
可得平面，又平面
所以．
（2）方法一：
以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内过点作垂直于轴
的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易知，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则；
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，解得，令，则；
可得平面的一个法向量为，
所以，
即二面角的余弦值为．
方法二：
作于，于，连接，如下图所示：
因为平面，平面，所以．
因为平面，所以平面．
平面，故,
因为，平面MNH，故平面MNH，
所以即为二面角的平面角．
在中，，，所以，．
在中，，，所以，
所以，
可得．
所以二面角的余弦值为.
（3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
方法一：
易知，，
设，则，
平面的一个法向量为．
依题意可得，
解得或（舍去），
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
方法二：
作于，如下图所示：
由（1）知平面，又平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
所以即为与平面所成的角．
在中，由余弦定理可得，
所以．
设，则，，
所以，
解得或（舍去），
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
19. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点．
（1）证明：平面；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高；
（3）若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围．
解：（1）连接，
因为是底面边长为2的正四棱柱，
所以//，
故四边形为平行四边形，则，//，
又为与的交点，为与的交点，
所以，且，
故四边形为平行四边形，
所以，又平面，不在平面内，所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，设，则，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，故，
点到平面的距离为：，
解得，
故正四棱柱的高为；
（3）设，则，
由（2）知平面的一个法向量为，
设，则，
则，
故，设，
则，
故，设，
则在上有解；
因为的对称轴为，
故，故，
故，所以，故，
故线段取值范围为．