2024-2025学年江苏省连云港市灌南县高一下学期4月期中调研考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省连云港市灌南县高一下学期4月期中调研考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(3,1,2)，b=(x,2,1−x)，若a⊥b，则x=( )
A. −5B. −4C. 4D. 5
2.从5名老师中任选2人分别参加演讲比赛和粉笔字比赛，共有( )种不同的选法．
A. 25B. 20C. 10D. 32
3.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若OP=mOA+54BO+OC，则m的值为( )
A. −54B. 94C. 54D. −94
4.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，那么出场顺序的不同排法种数为( )
A. 18B. 120C. 36D. 72
5.已知口袋中有3个黑球和2个白球(除颜色外完全相同)，现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为( )
A. 110B. 14C. 25D. 35
6.设随机变量X~B(2,p),若P(X≥1)=59,则p的值为（ ）
A. 13B. 23C. 53D. 49
7.已知(ax−1)(2x+1)6的展开式中x5的系数为48，则实数a=( )
A. 2B. 1C. −1D. −2
8.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，PA=2 3，点D是面PAB内的动点(不含边界)，AD⊥CD，则异面直线CD与AB所成角的余弦值的取值范围为( )
A. ( 510, 22)B. ( 1010, 22)C. ( 510, 32)D. ( 1010, 32)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式中，正确的是( )
A. Anm+mAnm−1=An+1mB. rCnr=nCnr−1
C. Cn+1m+1=Cnm−1+Cn−1m+Cn−1m−1D. Cnm=m+1n−mCnm+1
10.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出n次骰子后，下列结论正确的是( )
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为12
B. 第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是32
C. 第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率
D. 第一次扔完骰子小球位于−1且第五次位于1的概率14
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D B. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2] D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A,B满足PA=13,PB=14,PB|A=12，则PA+B= ．
13.经统计，在渝东六校联考中，高二数学成绩X(单位：分)服从正态分布N90,25，则任选1名参加该次考试的学生，其这次数学成绩在85∼100分内的概率约为 .(参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.)
14.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…记这个数列前n项和为S(n)，则S(29)=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1C1的中点．
(1)求异面直线AE与B1C所成角的余弦值；
(2)求三棱锥A−B1CE的体积．
16.(本小题15分)
已知(x−2x2)n的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是28：1．
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含1x的项．
17.(本小题15分)
设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．
(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
18.(本小题17分)
在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
(1)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；
(2)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°.若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．
(1)若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
(2)如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.B
6.A
7.B
8.A
9.AD
10.AC
11.ABD
12.512

14.799
15.解：(1)如图，
正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，
连接BD交AC于O，连接EO，
根据正方体的性质，知道EO垂直于上下底面，
且BO⊥AC，则BO,AC,EO两两垂直，
则可以OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴建立空间直角坐标系，
由于棱长为2，则面对角线为2 2，
所以A( 2,0,0),E(0,0,2),B1(0, 2,2),C(− 2,0,0)，
则AE=(− 2,0,2),B1C=(− 2,− 2,−2)，
则csAE,B1C =AE⋅B1C|AE|⋅|B1C|=−2 6× 8=− 36，
则异面直线AE与B1C所成角的余弦值为的余弦值为 36；
(2)根据题意，知道VA−B1CE=VB1−ACE，
显然S△ACE=12×AC×OE=2 2，
由正方体结构特征知，EB1⊥平面ACE，
则B1到平面ACE的距离为d=EB1= 2，
故VA−B1CE=VB1−ACE=13S▵ACE×d=13×2 2× 2=43，
故三棱锥A−B1CE的体积为43．
16.解：(1)∵展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是28：1，
∴Cn3(−2)3：Cn1(−2)1=28：1，
∴n=8，
∴取x=1得到各项系数和为(1−21)8=1．
(2)∵这个二项式的展开式的通项公式是Tr+1=C8rx8−r(−2x2)r=C8r·−2r·x8−3r，
要求含1x的项，只要使得x的指数8−3r=−1，求得r=3，
∴含1x的项为C83·−23·x−1=−448x．
17.
18.解：(Ⅰ)∵AC=BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB
以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，过M点作平面ABC的垂线为z轴，如图建立坐标系M−xyz，
则M(0,0,0),C(0, 2,0),B( 2,0,0)，
D( 2,0,2),E(− 2,0,1)
ME=(− 2,0,1),MC=(0, 2,0)，
BD=(0,0,2),BC=(− 2, 2,0)
设平面EMC的一个法向量m=x1,y1,z1，
则− 2x1+z1=0 2y1=0,
取x1=1,y1=0,z1= 2，
所以m=(1,0, 2)，
设平面DBC的一个法向量n=x2,y2,z2，
则− 2x2+ 2y2=02z2=0,
取x1=1，y1=1，z1=0，
所以n=(1,1,0)，
，
所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值 66．
(Ⅱ)解：在棱DC上存在一点N，
设N(x,y,z)且DN=λDC，0≤λ≤1，
∴(x− 2,y,z−2)=λ(− 2, 2,−2)，x= 2− 2λ，y= 2λ，z=2−2λ
MN=( 2− 2λ, 2λ,2−2λ)，
若直线MN与平面EMC所成的角为60°，
则
．
解得λ=12，
所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点．
19.解：(1)记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件A，
因为球的总分为1×3+2×3+3+4=16，即事件A指的是甲的得分大于等于8，
则甲再从袋子中摸出两个球，摸出了1个白球1个红球或一个黄球一个红球或2个黄球，
所以P(A)=C11C31+C11C31+C32C72=921=37．
(2)如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分，
Pξ=6=C33C73=135，
Pξ=7=C32⋅C31C73=935，
Pξ=8=C31⋅C32C73=935，
P(ξ=9)=C32⋅C11C73+C33C73=435，
Pξ=10=C31⋅C31⋅C11C73=935，
P(ξ=11)=C32⋅C11C73=335，
所以ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望Eξ=6×135+7×935+8×935+9×435+10×935+11×335=607．
(3)由第(1)问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为p1=37，
由第(2)问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为p2=9+4+9+335=57，
若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为p3=C62+C22+C21C31C73=2235，
若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为P4=(C62−1)+C32C73=1735，
则摸球人获胜的概率为P=18×37+18×57+38×2235+38×1735=157280>12，
所以比赛不公平．
ξ
6
7
8
9
10
11
P
135
935
935
435
935
335