河北省秦皇岛市2025届高三第一次模拟数学试卷（解析版）

这是一份河北省秦皇岛市2025届高三第一次模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 、B. 、C. 、D. 、
【答案】D
【解析】将数据由小到大进行排列为：、、、、、、，
因此，这组数据的众数为，中位数为.
故选：D.
2. 二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将，化为抛物线的标准方程，
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
综上：其准线方程.
故选：C.
3. 设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. 18B. 27C. 45D. 63
【答案】C
【解析】由题意得成等差数列，
即成等差数列，
即，解得.
故选：C
4. 某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ）
A. 30B. 60C. 120D. 180
【答案】B
【解析】先从5人中选出4人值班，
再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，
所以安排方法数为.
故选：B.
5. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，
则有：，，，
所以，又因为，即，，
可得：，解得，故离心率为．
故选：B．
6. 在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，，
，
则，得，，
即,
则在上的投影向量为，
，
所以在上的投影向量为.
故选：C
7. 函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 1
【答案】C
【解析】因为的定义域为，
，所以在为增函数，
，所以，
又，在为增函数，所以，即，
因为，，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
8. 正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为正三棱柱中，为的中点，
取中点，连接，如图，
以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
因为是棱上一动点，设，且，
因为，所以，
于是令，.
所以，.
又因为函数在上为增函数，
所以当时，
即线段长度的最小值为
当时，，
即线段长度的最大值为，
所以线段长度的取值范围为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知复数满足，则（ ）
A. 的实部为
B. 的虚部为
C. 满足：复数对应的点所在区域的面积为
D. 对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为
【答案】AC
【解析】由，
则，
所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误；
因为，
则，设，
则，即，
所以复数对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域（包括圆），
则所在区域的面积为，故C正确；
如图，对应的向量为，
则向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为，故D错误.
故选：AC.
10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A：，由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，，，故A正确；
对于B：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；
对于C：由B知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错；
对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为
C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为
D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
【答案】ABD
【解析】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，
由，
如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，
另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；

选项B，设点关于直线的对称点，
则，解得，即，
则，
即的最小值为，故B正确；

选项C，由切点为，则在中，，
当最小时，取最大值，最大，
过点作，垂足为，此时最小，最小值为，
即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；

选项D，设点，切点，
可得切线方程为，由点在切线上，得，
同理可得，
故点都在直线上，
即直线的方程为，
又由点在直线上，则，
代入直线方程整理得，
由解得，即直线恒过定点，故D正确.
故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，则___________．
【答案】
【解析】因为，
又，
所以.
故答案为：
13. 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____．
【答案】
【解析】由，可得，即，
令，则
又在区间内没有零点，
则区间内不存在整数，
又，则正数ω满足，
则，则，解之得，
则正数ω的取值范围是.
故答案为：
14. 若函数的图象关于对称，则__________，的最小值为______________．
【答案】①. ②.
【解析】因为函数的图象关于对称，
令，可得，可得或，
由对称性可知，方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，可得，
所以，，
则，
所以，函数的图象关于直线对称，则，
因为，
令，令，
所以，.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在及处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
解：（1）∵，∴，
由已知得，是的两个根，
故，解得，；
此时，则，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
可知和均为极值点，符合题意，，.
（2）由（1）得，
，结合（1）可知，该函数的零点为，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
∴的极小值为，极大值为，
若方程有三个不同的实根，只需，
解得，
∴a的范围是.
16. 某学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得20分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为20，30，40的3个问题中随机选两题作答，每答对一题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分，则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对两个问题；在类的3个分值分别为20，30，40的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一轮的得分分别为，.
（1）分别求，的概率分布列；
（2）分别计算甲、乙晋级复赛的概率，并请说明谁更容易晋级复赛？
解：（1）由已知得，，
，
，
，
所以的分布列为
由已知得，，
所以，
.
所以的分布列为
（2）甲在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为20分和50分，
选20分和40分的题所得分数为20分和60分，
选30分和40分题所得分数为0分、30分、40分和70分，
乙在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
选20分和40分的题所得分数为0分、20分、40分和60分，
选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，
由已知及（1）得，
甲两轮的总积分不低于90分的概率为
；
乙两轮的总积分不低于90分的概率为
，
因为，所以甲更容易晋级复赛.
17. 如图，在四棱锥中，点为的中点，底面，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：因为底面，且底面，所以，
如图所示，过点作垂足为，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又因平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以
（2）解：因为且，在直角中，可得
又因为，所以，
因为，
在中，可得,
又因为，所以，
由且，所以为等腰直角三角形，可得，
所以，即，
因为底面，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
又因为点为的中点，所以，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上.为原点，且．
（1）若点为的中点，求的长度；
（2）过作直线与的右支交于两点，当的面积为时，求直线的方程．
解：（1）因为，所以，
又因为，所以，
又由双曲线的定义可知，
所以，
又因为为的中点，为的中点，
所以．
（2）根据题意，可设直线
联立方程
化简得，
由题意可知，
且，
设，
所以，
所以
所以
.
令，
解得（舍）或．
当时，，所以直线或．
19. 数列：满足：，，或1．对任意，，都存在，，使得，其中且两两不相等．
（1）若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2；
（2）记，若，求的最小值；
（3）若，求的最小值．
解：（1）结合数列的定义，
对①，，不满足，故①不符合；
对②，当时，存在，同理当时，存在，当时，存在，故②符合；
同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；
（2）当时，设数列中1，2，3出现的频次为，
由题意知，，假设时，，（对任意），与已知矛盾，故，同理可证，
假设，数列可表示为：，显然，故，
经验证时，显然符合，
所以，，，数列的最短数列可表示为：，
故；
（3）由（2）知，数列首尾应该满足，假设中间各出现一次，此时，显然满足或1，
对或时，显然满足（）；
对，或时，显然满足（）；
对时，则可选取，满足；
同理若，则可选取，满足；
如果，则可取，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，
故的最小值为1008.
0
20
40
20
40