辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知，又，
可得.
故选：A
2. 若复数，则的共轭复数的模为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为，
所以，所以.
故选：B.
3. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的图像向左平移个单位得到的函数图象的解析式为.
故选：A.
4. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】依题意，抛物线中，，点到准线的距离，
故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为：
，
当且仅当A,P,F三点共线时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
5. 已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意设围成的圆锥为，如下图：
设扇形的半径为，则，解得；
可知圆锥母线为4
又扇形弧长为,
设圆锥底面半径为，则，因此；
所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于.
故选：D
6. 平面向量，，则在上的投影为（ ）
A B. C. 1D.
【答案】A
【解析】根据题意可知，
在上的投影为.
故选：A
7. 5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可知某信号的6位数字均有“0”和“1”两种选择，
因此可以编码出种信号；
若信号编码中恰好有3个“1”，则其余三个数字是0，共有种信号，
因此该信号编码中恰好有3个“1”的概率为.
故选：B
8. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为当时，，所以，，
又因为，所以，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
故C正确，A错误，且无证据表明BD正确.
故选：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9. 已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（ ）
A. B. C. 14D.
【答案】AC
【解析】因为圆的方程为，所以圆心为，
又因为点到直线的距离为，
所以，解得或.
故选：.
10. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数B. 在单调递增
C. 有且仅有1个零点D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于A，易知的定义域为，定义域关于原点对称，
可知，即为奇函数，可得A正确；
对于B，当时，
可得恒成立，
因此在单调递增，即B正确；
对于C，由B可知在上单调递增，且，
因此有且仅有1个零点，即C正确；
对于D，当时，可得趋近于，因此D错误.
故选：ABC
11. 已知数列，不为常数列且各项均不相同，设，，下列正确的是（ ）
A. 若为等差数列且为等比数列，则方程最多有三个解
B. 若，均为等差数列，则方程最多一个解
C 单调递增，单调递减，则方程最多有一个解
D. 若，均为等比数列，则方程最多有三个解
【答案】BC
【解析】对于A，因为等差数列的通项公式是线性的，可表示为（其中为公差），
而等比数列的通项公式是指数型的，可表示为（其中为公比且），
方程即，
当时，指数函数增速逐渐加快，而线性函数增速恒定，两者可能先相交一次，
随后指数函数迅速超过线性函数，之后不再相交，或者指数函数初始值高于线性函数，
随后被线性函数超过一次，再被指数函数反超，此时最多相交两次；
当时，指数函数递减，而线性函数递增，两者可能相交一次或不相交，
进一步分析是否存在三个解的可能：假设存在三个自然数满足，
则指数函数需在三个点上与直线重合，但指数函数的凹凸性（始终向上凸或向下凸）
与直线单调性的差异决定了它们的交点数量不可能超过两次，
若强行假设存在三个交点，则指数函数需在某一区间内先超过直线，再被直线超过，
最后再次超过直线，这与其单调递增或递减的特性矛盾.
因此，无论还是，方程在自然数范围内最多有两个解，而非三个，故A错误；
对于B，因为当和均为等差数列时，它们的通项公式分别为
和（其中，且数列不为常数列），
方程可化简为，
若两数列公差不同，方程等价于关于的一元一次方程，
解为，由于方程至多有一个实数解，且题目中为自然数，
因此方程要么存在唯一的自然数解，要么无解（例如解为负数或非整数），
若两数列公差相同，方程化简为，
由于题目规定两数列不为常数列且各项均不同，
若，则方程无解，若，则两数列完全相同（即对所有成立），
但题目明确要求数列“不为常数列且各项均不相同“，因此这种情况被排除.
综上，无论公差是否相等，方程在自然数范围内最多存在一个解，故B正确；
对于C，因为单调递增，单调递减，所以随增大严格上升，随增大严格下降，
若存在某个使得，则对于更大的会继续增大而继续减小，两者不再可能相等，
对于更小的更小而更大，同样无法再次相等，因此，方程最多有一个解，故C正确；
对于D，因为当和均为等比数列时，
它们的通项公式分别为和（其中，且数列不为常数列），
方程等价于，整理并取对数可得：，
若公比不同，此时，方程可解为，
这是一个关于的一元一次方程，因此最多存在一个实数解；
若公比相同，方程退化为，
若，由于题目要求数列“不为常数列且各项均不相同“不合题意，
若，方程无解，但题目明确排除了这种情况，故此时方程无解，即最多一个解，
假设存在三个不同的自然数满足方程，
则，
若，则，此时为严格单调函数时递增，时递减），而严格单调函数与常数最多相交一次，
综上，无论公比是否相等，方程在自然数范围内最多存在一个解，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 二项式的展开式中的常数项为________．
【答案】60
【解析】展开式的通项为．
令，得，则的常数项为．
故答案为：．
13. 若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是_____．
【答案】
【解析】易知双曲线的一条渐近线的斜率为，
依题意可得，所以
所以双曲线离心率，又，
可知双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：
14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理可得,
即，
所以，而三角形为锐角三角形，
所以或(舍去)，
所以，
由题意得，
所以，，
令，，
则，
易得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最大值，
又，，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营．
（1）请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异；
（2）对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前penAI高成本运营占比为，设为DeepSeek发布后这两家公司抽取的个客户使用时的高成本运营占比，若，则可以认为DeepSeek的技术水平高于penAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于penAI．
附：
解：（1）根据题意可得列联表：
可得
因为，
所以有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异．
（2）由题意可知：DeepSeek发布后这两家公司的高成本运营占比，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以，能够认为DeepSeek的技术水平高于penAI．
16. 设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围．
解：（1），，解得，；
由，可知，；
，，
又，
，
即，解得或（舍去），
．
（2）由（1）知：
可知，，解得，
所以为等差数列，故，
存在，有即
又
所以
故，整理解得．
所以的取值范围是.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的值．
解：（1）因为，定义域为，
求得，
所以，当时，成立，此时在上单调递减；
当时，
，，在上单调递减；
，，在上单调递增．
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）得，当时，
，
要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立，
令，，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，
若，则,
所以.
18. 已知，，直线，交于点，且直线，的斜率之积为，点的轨迹记为曲线．
（1）求的方程；
（2）设直线与曲线相切，是否存在使得相应的为整数?若存在，求的值；若不存在，说明理由；
（3）设直线与曲线交于点，两点，点为弦的中点，满足，且直线，与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程．
解：（1）设点，则
于是，
整理得：.
（2）由，消去得，
由，化简得，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，．符合题意；
所以在该集合中存在，使得为整数，且
（3）设，，，
由，消去得
，
由是弦的中点，可知，
，
整理得：，
因式分解：，
所以或．
当时，直线的方程为，过定点，即必过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，过定点．
因为为等腰三角形，且为底边，可求得，
所以当时，，即直线l的方程为，
当时，，即直线l的方程为．
19. 已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，．
（1）求函数的解析式；
（2）在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由；
（3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围．
解：（1）由题意：，，
当绘有图像的纸片折叠前，有，
于是①
又当二面角的值为时，可得
，代入上式：②
联立①②，解得：，．
所以，
又与轴的交点为，可得，解得(舍)或，
所以.
（2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，
又点，，
故连线的斜率，连线的斜率，
于是，过点作交轴于，则直线斜率为-2，
因为，故直线一定交的图像于，
②在平面上，过作平行于的交于，连接．
由，，且，可得平面平面，
又平面，
从而平面，
综上，可确定存在两个点满足条件，即，平面．
（3）根据题意，依图3，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，，
于是，，，，
所以，，
设平面的法向量
于是
令，得
设平面的法向量
于是
令，得
结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为
令
化简得：
令，，
于是．
易知，该函数为定区间上的单调递增函数，所以，，
二面角的余弦值的取值范围是．高昂
较高
低廉
总计
DeepSeek
36
14
50
100
OpenAI
46
24
30
100
高成本运营
低成本运营
DeepSeek
OpenAI

0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
高成本运营
低成本运营
DeepSeek
50
50
OpenAI
70
30