江苏省徐州市2024−2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析）

这是一份江苏省徐州市2024−2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数的导数为，则＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
2．若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A．B．
C．D．
5．过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在处有极大值，则常数c为（ ）
A．1B．3C．1或3D．-1或-3
7．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（ ）
A．0B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（ ）
A．B．0C．1D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．若函数，其导函数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 没有极值点B．是奇函数
C．点 是函数 的对称中心D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
13．已知函数的极大值点为，极小值点为，则等于 .
14．已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数的图象在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
16．已知函数
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的单调性．
17．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
18．设，函数，．
(1)若，求的最小值与的最大值；
(2)若在上恒成立，求．
19．已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）
参考答案
1．【答案】D
【详解】则.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因曲线在点处的切线方程是，
对函数求导得：，所以，.
故选B.
3．【答案】A
【详解】，所求切线斜率，
所求切线方程为：，即.
故选A.
4．【答案】B
【详解】由图象可得，
当时，由得，在上单调递增，
当时，由得，在上单调递减，
当时，由得，在上单调递减，
综上，函数 的增区间为.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为，所以，
设所求切线的切点为，则，
由题知，，解得，所以切线斜率为，
故所求切线方程为.
故选C.
6．【答案】B
【详解】函数，，
由题意知，在处的导数值为，
，或，
又函数在处有极大值，
故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
导数值在处左侧为负数，右侧为正数．
故．
故选B．
7．【答案】B
【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选B.
【关键点拨】本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
8．【答案】C
【详解】因为函数的导数，所以，为常数，
设，则恒成立，在上单调递增，
即在上单调递增，又，
故当时，，即单调递减，
时，，即单调递增，
所以在处取得最小值，即，所以，
所以，由，
令，解得，所以的零点为.
故选C.
9．【答案】AB
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以，，
令，，则，
可知为增函数，当时，有最小值，
故实数m的取值范围为，
故选AB.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由，为常数，所以，故选项A正确；
对于B，由，为常数，所以，故选项B不正确；
对于C，由，根据复合函数求导法则，，
故选项C正确；
对于D，由，根据复合函数求导法则，
，故选项D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【分析】通过原函数的导函数恒正推得原函数的单调性易得A项正确；对导函数运用奇函数的定义构造，推理出结果恒不为零，故B项不正确；运用成立即得C项正确；最后D项，通过分类讨论分析，从函数的值域上判断结论正确.
【详解】对于A项，由函数求导得，显然，即在R上为增函数，故函数没有极值点，即A项正确；
对于B项，记，由 可知函数不是奇函数，故B项错误；
对于C项，由可知函数的图象关于点成中心对称，故C项正确；
对于D项，当时，因，则，从而，即，此时满足；
当时，因，则，从而，即，此时满足.
综上可得恒成立，故D项正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
13．【答案】
【详解】因为，则，
令，得到，解得，，
当时，，时，，时，，
即在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以是极大值点，是极小值点，
得到.
14．【答案】
【详解】由，在存在零点，
即在上有解，
令，，则恒成立，
故在上单调递增，故，
即，
令，，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，当时，，
即有，故，即实数a的最大值是.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
所以，解得，
（2）由（1）得，
当，令，解得或，
故在和单调递增，在单调递减，
又，，
，
由于，，
所以
16．【答案】(1)最大值为32，最小值为
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以．
当时，，当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为，
所以在上的最大值为32，最小值为．
（2）因为，
所以
令，得或．
当，即时，由，解得或，由，解得．
当，即时，恒成立．
当，即时，由，解得或，由，解得．
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
17．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）当时，，．
则，，
则切线l：，即
（2）
令，得或．
当或时，；当时，．
则的单调递增区间为和；单调递减区间为．
则的极大值为，的极小值为．
则联立，解得．
此时，，则函数有三个不同的零点，即．
18．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）若，，，
，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，，
，当时，，当时，，
所以函数函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
（2）令，则在上恒成立，
，
当时，，
所以函数在上单调递增，而，
所以当时，在上不恒成立，
当时，若，则，
故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
综上，只需，得，
综上所述，.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知函数的定义域为，
由，得，
令函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在单调递减，
所以，
因为，
可知函数的图象如下所示：

所以当时，函数的零点个数为0个，当或时，函数的零点个数为1个，当时，函数的零点个数为2个.
（2）由题设方程，即，
所以，
令，得，
又在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，
由已知，方程有两个实根，
即有两个实根，由（1）得.
令，
所以
令，所以有两个实根，
先证.
因为，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，要证，即证，
因为在上单调递减，只需证，
即证.
令，
，
因为，
令，
可知函数在上单调递增，所以，所以，
所以，即在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以成立，
即成立，又，且在上单调递减，
所以，所以，即，所以，
所以，即.