2023-2024学年河南省郑州八中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州八中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.六月是高考季，考上大学是每个学子的目标，河南也有很多不错的大学，以下是河南部分大学的校徽，其中是中心对称图形的是( )
A. 河南大学B. 郑州大学C. 河南农业大学D. 河南工业学校
2.满足下列条件的三角形中，不能判断三角形为直角三角形的是( )
A. 三角形三边长为7，24，25B. 三角形的三内角度数之比为3：4：5
C. 在△ABC中，∠A=∠B+∠CD. 三角形的三边之比为1： 2： 3
3.下列不等式中不成立的是( )
A. 若x>y，则−2x<−2yB. 若x>y>0，则x2>y2
C. 若x>y，则x44.不等式组3x+1>42x−1≤3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，直线y=kx+b的位置如图所示，则不等式kx+b>1的解集为( )
A. x<1
B. x<−2
C. x>0
D. x>−2
6.如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=6，DH=4，平移距离为7，则阴影部分的面积为( )
A. 12B. 16C. 28D. 24
7.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )
A. 三个角的角平分线的交点
B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三角形三条高的交点
D. 三角形三条中线的交点
8.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 4.5cm2
D. 5cm2
9.如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC.以下结论：
①AD/​/BC；
②∠ACB=2∠ADB；
③∠BDC=12∠BAC；
④△ABD和△ACD都是等腰三角形．
其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，边长为2的正方形AOBC绕点O逆时针旋转30°得到正方形A1OB1C1，两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示的阴影部分)，则这个风筝的面积为( )
A. 8 33
B. 8−4 33
C. 8− 3
D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.点A(4,2)先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为 ．
12.若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为______．
13.某次知识竞赛共有20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣6分.如果得分要超过95分，设小新答对了x道题，依题意可列不等式为______．
14.如果关于x的不等式组2(x−2)<102(x+2a)>7有且仅有5个整数解，则a的取值范围是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.将△ADE绕点D按顺时针方向旋转α(0°≤α≤90°)，点A，E的对应点分别为点G，F，GF与AC交于点P.当直线GF与△ABC的一边平行时，CP的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解不等式或者不等式组：
(1)3x−2≥1；
(2)2x≥3(x−3)x4>7−x2+1．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°．
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
18.(本小题10分)
已知如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(3,1)，B(4,3)，C(2,4)，按要求回答问题：
(1)将△ABC向左平移7个单位，得到△A1B1C1．
①画出△A1B1C1图形；
②求线段AB平移中扫过的面积；
(2)将△ABC以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△AB2C2．
①画出△AB2C2图形；
②写出点C2的坐标．
19.(本小题10分)
(1)如图1，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC．
求证：AB=AC．
证明：
(2)如图2，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AB=AC．
求证：AD//BC．
证明：
20.(本小题10分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
(1)若∠A=35°，求∠CBE的度数；
(2)若AE=3，EC=1，求△ABC的面积．
21.(本小题10分)
某文具商店购买了两种类型文具A和文具B销售，若购A文具5个，B文具3个，需要105元：若购进A文具8个，B文具6个，需要186元．
(1)求文具A，文具B的进价分别是多少元？
(2)若每个文具A的售价为20元，每个文具B的售价为21元.结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的23.且文具A和文具B全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
22.(本小题6分)
欧几里得在《原本》中证明勾股定理的大致过程如下：
上面证明中，没有给出“a2=S长方形MNIB”的证明过程，只用两个字“同理”一笔带过，请你将这个证明过程补充上．
23.(本小题13分)
如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！
【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．
【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的边BC、B′C′上的高，那么容易证明AD=A′D′.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．
【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系．
【探究四】在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.灵活应用小明的探究结果，请直接写出图5中线段AF、BF、CF之间存在的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】B
【解析】解：A.∵72+242=49+576=625=252，根据勾股定理的逆定理，
可判断该三角形为直角三角形；
B.∵三个角的度数比为3：4：5，所以这个三角形三个角的度数为：45°、60°、75°，
∴该三角形不是直角三角形；
C.∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，该三角形为直角三角形；
D.∵三角形三边的比为1： 2： 3，则三角形的三边长分别为a、 2a、 3a，
由于a2+( 2a)2=3a2=( 3a)2，
∴该三角形为直角三角形．
故选：B．
利用三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理逐个判断得结论．
本题主要考查了直角三角形的判断，掌握三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、若x>y，则−2x<−2y，成立，不符合题意；
B、若x>y>0，则x2>y2，成立，不符合题意；
C、若x>y，则x4>y4，原变形错误，符合题意；
D、若x+1故选：C．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：3x+1>4 ①2x−1≤3 ②，
解得x>1x≤2，
故选：C．
根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集的公共部分是不等式组的解集，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集的公共部分是不等式组的解集．
5.【答案】C
【解析】解：直线y=kx+b的图象经过点(0,1)，且函数值y随x的增大而增大，
∴不等式kx+b>1的解集是x>0．
故选：C．
从图象上得到函数的增减性及与y轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b>1的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．
6.【答案】C
【解析】解：∵平移距离为7，
∴BE=7，
∵AB=6，DH=4，
∴EH=6−4=2，
∵S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ABEH=S阴，
∴阴影部分的面积为=12×(6+2)×7=28．
故选：C．
由S△ABC=S△DEF，推出S四边形ABEH=S阴即可解决问题．
此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的判断，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解本题的关键．用线段垂直平分线的判定判断即可．
【解答】
解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP=∠EBPPB=PB∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2=4.5cm2，
故选：C．
根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
9.【答案】D
【解析】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，故①正确；
∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，
∠BDC=12∠BAC，故③正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD/​/BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，
∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形．
故④正确．
综上所述，正确的有4个．
故选：D．
根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
10.【答案】B
【解析】解：设CD，C′B′交于E点，连接AE，
由旋转的性质可知△ADE≌△AB′E，
∵旋转角∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=90°−∠BAB′=60°，
∴∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，DE=AD⋅tan30°=2 33，
∴S四边形ADEB′=2×S△ADE=2×12×2×2 33=4 33，
∴S风筝面积=2S正方形ABCD−S四边形ADEB′=8−4 33．
故选：B．
用两个正方形面积和减去重叠部分面积即可，重叠部分可看作两个全等的直角三角形．
本题考查正方形的性质，解直角三角形，四边形面积计算等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，记住S风筝面积=2S正方形ABCD−S四边形ADEB′，属于中考常考题型．
11.【答案】(8,1)
【解析】解：点A(4,2)先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为(4+4,2−1)，
即：(8,1)．
故答案为：(8,1)．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所求点的坐标是(4+4,2−1)，进而得到答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
12.【答案】6013
【解析】解：∵52+122=25+144=169，132=169，
∴52+122=132，
∴该三角形是直角三角形，
∴此三角形的最长边上的高=12×5×1212×13=6013，
故答案为：6013．
利用勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求出三角形的最长边上的高．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
13.【答案】10x−6(20−x)>95
【解析】解：设小新答对了x道题，依题意可列不等式为：10x−6(20−x)>95．
故答案为：10x−6(20−x)>95．
根据题意表示出小新的得分，进而得出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．
14.【答案】34【解析】解：解不等式组2(x−2)<102(x+2a)>7，
得7−4a2∵关于x的不等式组2(x−2)<102(x+2a)>7有且仅有5个整数解，即6，5，4，3，2，
∴1≤7−4a2<2
解得34故答案为：34根据该不等式组仅有5个整数解，可得答案．
本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
15.【答案】12或32
【解析】解：根据题意，将△ADE绕点D按顺时针方向旋转α(0°≤α≤90°)得到△GDF，即△GDF≌△ADE，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5．
∵点D，E分别是边AB.AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AD=12AB=52，AE=12AC=2.DE=12BC=32，
当GF//AB时，如图所示：
∴∠ADG=∠DGP，∠A=∠GPA，
∵△GDF≌△ADE，
∴∠A=∠DGP，
∴△MDA和△MPG均为等腰三角形，且MD=MA.MP=MG，
∴AP=AM+MP=MD+MG=DG，
由△GDF≌△ADE得到DG=AD=52，则CP=AC−AP=4−52=32，
当GF/​/BC时，如图所示：
∵DE/​/BC，
∴GF/​/DE，
∵∠C=90°，
∴∠EPF=90°，
∴EP//DF，
∴四边形DFPE是平行四边形，
∵DE=DF，∠DFP=90°，
∴▱DFPE是正方形，
∴EP=DF=DE=32，
∵EC=12AC=2，
∴PC=EC−EP=2−32=12，
解得PC=12，
综上所述，CP的长为12或32．
故答案为：12或32．
根据题意，由旋转性质，结合直线GF与△ABC的一边平行，分两类：当GF//AB时；当GF/​/BC时；两种情况讨论求解即可得到答案，
本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、中点定义、中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质，分类讨论是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)3x−2≥1，
3x≥1+2，
3x≥3，
x≥1；
(2)2x≥3(x−3)x4>7−x2+1，
去括号，去分母，得2x≥3x−9x>14−2x+4，
解得x≤9x>6，
即6【解析】(1)先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答．
(2)分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，即可作答．
本题考查了解不等式或者不等式组，掌握解不等式是关键．
17.【答案】解：(1)如图，直线DF，射线AE即为所求．
(2)因为DF垂直平分线段AB，
所以DB=DA，
所以∠DAB=∠B=30°，
因为∠C=40°，
所以∠BAC=180°−30°−40°=110°，
所以∠CAD=110°−30°=80°，
因为AE平分∠DAC，
所以∠DAE=12∠DAC=40°．
【解析】(1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，直线DF，射线AE即为所求．
(2)首先证明DA=DB，推出∠DAB=∠B=30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18.【答案】解：(1)①如图，△A1B1C1即为所求．
②∵平行四边形ABB1A1的面积为7×2=14，
∴线段AB平移中扫过的面积为14．
(2)①如图，△AB2C2即为所求．

②由图可得，点C2的坐标为(0,0)．
【解析】(1)①根据平移的性质作图即可．
②直接求出平行四边形ABB1A1的面积即可．
(2)①根据旋转的性质作图即可．
②由图可得答案．
本题考查作图−旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵AD/​/BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
(2)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠CAE是△ABC的外角，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠1，
∴AD//BC．
【解析】(1)根据AD//BC得出∠1=∠B，∠2=∠C，再由∠1=∠2可知∠B=∠C，据此得出结论；
(2)根据AB=AC得出∠B=∠C，由三角形外角的性质可知∠1+∠2=∠B+∠C，再由∠1=∠2得出∠B=∠1，故可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的判定与性质、平行线的判定，熟知以上知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵∠C=90°，∠A=35°，
∴∠ABC=90°−∠A=55°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EBA=∠A=35°，
∴∠CBE=∠ABC−∠EBA=55°−35°=20°；
(2)在Rt△ECB中，∠C=90°，EC=1，BE=AE=3，
由勾股定理得：BC= BE2−EC2= 32−12=2 2，
∵AE=3，EC=1，
∴AC=AE+EC=3+1=4，
∴△ABC的面积是12×BC×AC=12×2 2×4=4 2．
【解析】(1)根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，求出∠EBA=∠A=35°，再求出答案即可；
(2)根据勾股定理求出BC，求出AC，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识点，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)设文具A，文具B的进价分别是x元，y元，由题意，得：
5x+3y=1058x+6y=186，
解得：x=12y=15，
答：文具A，文具B的进价分别是12元和15元；
(2)设购进文具A的数量为a个，则购进文具B(80−a)个，由题意，得：
80−a≥23a，
解得：a≤48，
设总利润为w，由题意，得：w=(20−12)a+(21−15)(80−a)=2a+480，
∴w随a的增大而增大，
∵a≤48，
∴当a=48时，此时80−a=32，w有最大值为576；
答：当购进文具A的数量为48个，文具B的数量为32个时，利润最大为576元．
【解析】(1)设文具A，文具B的进价分别是x元，y元，根据购A文具5个，B文具3个，需要105元：若购进A文具8个，B文具6个，需要186元，列出方程组进行求解即可；
(2)是购买文具A的数量为a个，根据购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的23列出不等式求出a的取值范围，设总利润为w，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意是关键．
22.【答案】证明：如图(1)，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG(如图(2))，连接EB，CH过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．
∵EA=CA，∠EAB=∠CAH=90°+∠CAB，AB=AH，
∴△EAB≌△CAH(SAS)，
又∵S正方形ACDE=2S△EAB，
S长方形AHNM=2S△CAH，
∴b2=S长方形AHNM，

如图，分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG，如图，连接AF，CI，过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．

∵BF=CB，∠FBA=∠CBI=90°+∠CBA，AB=BI，
∴△FBA≌△CBI(SAS)，
又∵S正方形BCGF=2S△FBA，
S长方形BINM=2S△CBI，
∴a2=S长方形BINM，
∴c2=a2+b2
【解析】如图，分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG，如图，连接AF，CI，过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N.可证得△FBA≌△CBI(SAS)，再根据图形的面积即可证得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积，矩形面积，正方形面积等，证明三角形全等，已知的两对边对应相等时，关键是找到夹角相等．
23.【答案】【探究一】解：如图2，AC和BD交于点P．
．
∵△ABC、△DCE均为等边三角形．
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠BCD=∠ACE．
在△BCD和△ACE中．
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE．
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
∴∠CBD=∠CAE．
又∵∠APF=∠BPC．
∴∠AFB=∠ACB=60°．
∴∠BFE=120°．
【探究二】证明：如图4，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为点M，N，
．
由探究一得：
△BCD≌△ACE(SAS)．
∴CM=CN．
又∵CM⊥BD，CN⊥AE．
∴CF平分∠BFE．
【探究三】解：如图在BD上取一点H，使得BH=AF．
．
由探究一得：△BCD≌△ACE(SAS)．
∴∠CAE=∠CBD．
在△BCH和△ACF中．
BH =AF;∠CBD=∠CAEBC=AC．
∴△BCH≌△ACF(SAS)．
∴CH=CF．
由探究一、二得：∠BFC=60°．
∴△HCF为等边三角形．
∴CF=CH=AF．
∴BF=BH+HF=AF+CF．
即BF=AF+CF．
【探究四】解：如图5，过点C作CG⊥CF交BF于点G．
．
∵∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠BCE=∠ACD=90°−∠ACE．
又BC=AC，EC=DC．
∴△BCE≌△ACD(SAS)．
∴∠CBE=∠CAD．
∵GC⊥CF．
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°．
又∠ACB=∠BCG+∠ACG=90°．
∴∠BCG=∠ACF．
又BC=AC．
∴△BCG≌△ACF(AAS)．
∴BG=AF，CG=CF．
∴△CFG是等腰直角三角形．
∴GF= CG2+CF2= 2CF．
∵BF=BG+GF．
∴BF=AF+ 2CF．
【解析】【探究一】先证明△BCD≌△ACE(SAS)，推出∠CBD=∠CAE，再根据对顶角相等，得出∠AFB=∠ACB=60°，进而可求得∠BFE的度数．
【探究二】过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为点M，N，可证CM=CN，根据CM⊥BD，CN⊥AE，可得CF平分∠BFE．
【探究三】在BD上取一点H，使得BH=AF，先证明△BCH≌△ACF(SAS)，推出CH=CF，根据探究一、二得：∠BFC=60°，推出△HCF为等边三角形，通过等量代换即可得结论．
【探究四】过点C作CG⊥CF交BF于点G，先后证明△BCE≌△ACD(SAS)，△BCG≌△ACF(AAS)，推出BG=AF，CG=CF，推出△CFG是等腰直角三角形，通过等量代换即可得结论．
本题是三角形的综合题，考查三角形全等的判定和性质，等边三角形等知识，理解题意，证明三角形全等是解题的关键．如图(1)，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG(如图(2))，连接EB，CH过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．
∵EA=CA，∠EAB=∠CAH=90°+∠CAB，AB=AH
∴△EAB≌△CAH(SAS)
又∵S正方形ACDE=2S△EAB，
S长方形AHNM=2S△CAH
∴b2=S长方形AHNM
同理a2=S长方形MNIB
∴c2=a2+b2