贵州省六盘水市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 如果，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，
∴，
∴，A选项错误，不符合题意；
B、，
∴，B选项正确，符合题意；
C、，
∴，C选项错误，不符合题意；
D、，
，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
2. 在中，已知，且一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的两个底角相等，可知只能是顶角，
所以这个等腰三角形的底角．
故选：D．
3. 图中的尺规作图是作（ ）
A. 线段的垂直平分线B. 一条线段等于已知线段
C. 一个角等于已知角D. 角的平分线
【答案】A
【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故作的是：线段的垂直平分线，
故选：A．
4. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将点向右平移3个单位长度得到点，即，
∴点关于y轴对称的点的坐标是．
故选：D．
5. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为图A是中心对称图形，但不是轴对称图形，所以A符合题意；
因为图B不是中心对称图形，是轴对称图形，所以B不符合题意；
因为图C中心对称图形，也是轴对称图形，所以C不符合题意；
因为图D不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D不符合题意．
故选：A．
6. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 两个外角相等的三角形是等腰三角形
B. 一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C. 两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
D. 两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形
【答案】C
【解析】因为两个外角相等的三角形的两个内角也相等，根据“等角对等边”可知这个三角形是等腰三角形，所以A正确；
如图所示，∵，可知，
∵平分，可得，
∴，
∴，则这个三角形是等腰三角形，所以B正确；
因为两个内角分别是和，另一个内角为，根据等角对等边，可知这个三角形是等腰三角形，所以D正确，C不正确．
故选：C．
7. 已知的三边分别为，且，则的面积为（ ）
A. 9B. C. D. 无法计算
【答案】B
【解析】∵，
∴，
解得．
∵，
∴是直角三角形，
∴．
故选：B．
8. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
解得：，
∵不等式无解，
∴，
故选：D．
9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的一个底角的度数是（ ）
A. 45°B. 22．5°或67．5°
C. 45°或135°D. 45°或67．5°
【答案】B
【解析】本题需要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论，分别求出底角的度数．
故选：B．
10. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，
解得．
当时，两个函数值相等，
∴当时，．
故选：B．
11. 如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转m°，得到△EDC，若点A、D、E在一条直线上，∠ACB=n°，则∠ADC的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=n°，∠ACE=m°，AC=CE，
∴∠ACD=m°-n°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠CAD=(180°-m°)，
∵在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD，
=180°-(180°-m°)-(m°-n°)，
=90°+n°-m°，
=(90+n-m)°，
故选：A．
12. 如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG、BF，
由轴对称的性质得：，
周长为，
由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为FG的长，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
点C为OB的中点，
，
点G为点C关于AO的对称点，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，即轴，
，
则，
即周长的最小值是，
故选：D．
二、填空题
13. 已知等腰三角形顶角的度数为，则底角的度数为_______°．
【答案】41
【解析】根据题意，得等腰三角形的底角的度数．
故答案为：．
14. 如图，中，平分线交于点，若，则点到的距离是_______．
【答案】5
【解析】如图所示，过点D作，交于点E，
∵平分，，，
∴，
所以点D到的距离是5．
故答案为：5．
15. 已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】当时，的解集是，的解集是，
∵不等式的解也是不等式的解，
∴此种情况不符合题意；
当时，的解集是，的解集是，
∵不等式的解也是不等式的解，
∴，
解得，
所以常数a的取值范围是；
故答案为：．
16. 如图，在中，是边上除点外的任意一点，则_______．
【答案】36
【解析】过点A作于点D，如图，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：36．
三、解答题
17. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答过程．
（1）解不等式①，得_______；
（2）解不等式②，得_______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为_______．
解：（1）解不等式①，得，
故答案为：；
（2）解不等式②，得，
故答案为：；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图：
（4）由数轴知，原不等式组的解集为：，
故答案为：．
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，已知点．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）将绕点顺时针旋转，画出所得的；
（3）请求出以点所组成三角形的面积．
解：（1）如图，即为所求，
（2）如图，即为所求；
（3）如图，顺次连接三个点得到，
由解图可知：．
19. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
解：（1）的垂直平分线分别交于点，
，
，
的周长为；
（2），
，
，
，，
．
20. 在中，．
（1）利用直尺和圆规完成如下操作，作平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若，求的度数．
解：（1）如图所示，点即为所求；
（2），为的平分线，
，
∴，
∴，
点在的垂直平分线上，
，
．
21. 如图，A、F、E、C在同一条直线上，且，于F，于E，交于G．
（1）求证：；
（2）求证：．
证明：（1）∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵A、F、E、C在同一条直线上，
∴；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22. 求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得
①或②
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式得解集为或．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得
①或②
解不等式①，得，
不等式②无解，
原不等式得解集为；
（2）根据“同号两数相除，商为正；被除数为0，商为0”可得
①或②
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式得解集为或．
23. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元．
（1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？
解：（1）设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得：
，解得，
答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元；
（2）设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，依题意得：，
解得：，
取正整数为20，21，22．
故有3种购买方案，分别为：
购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个；
购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；
购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个．
24. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD+EC=AB，AB=AD+BD，
∴BD=CE，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
由（1）知△BDE≌△CEF，
则∠BDE=∠CEF，
∴∠DEF=∠B，
∵∠A=40°，
∴∠B=∠C==70°，
∴∠DEF=70°；
（3）解：△DEF不可能是等腰直角三角形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C≠90°，
由（2）知∠DEF=∠B，
∴∠DEF=∠B≠90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形；
（4）解：当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，
理由是：当∠EDF+∠EFD=120°时，
则∠DEF=180°-120°=60°，
∴∠B=∠DEF=60°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，
∴当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A，B两点．与直线yx+b相交于点C（2，m）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求m和b的值；
（3）若直线yx+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）在y＝x＋2中，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝−2；
∴A（−2，0），B（0，2）；
（2）∵点C在直线y＝x＋2上，
∴m＝2＋2＝4，
又点C（2，4）也在直线yx＋b上，
∴×2＋b＝4，
解得b＝5；
（3）在yx＋5中，当y＝0时，x＝10，
∴D（10，0），
∴OD＝10，
∵A（−2，0），
∴OA＝2，
∴AD＝OA＋OD＝12；
①设PD＝t，则AP＝12−t，过C作CE⊥AP于E，如图1，则CE＝4，
∵△ACP的面积为10，
∴（12−t）×4＝10，
解得t＝7；
②存在，理由如下：
过C作CE⊥AP于E，如图所示：
则CE＝4，OE＝2，
∴AE＝OA＋OE＝4，
∴AC＝＝＝；
①当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，
∴PD＝AD−AP＝4，
∴t＝4；
②当AP＝AC时，如图所示：
则AP1＝AP2＝AC＝，
∴DP2＝12−，DP1＝12＋，
∴t＝12−或t＝12＋；
③当PC＝PA时，如图所示：
设EP＝m，则CP＝，AP＝m＋4，
∴＝m＋4，解得m＝0，
∴P与E重合，AP＝4，
∴PD＝8，∴t＝8；
综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12−或12＋或8．