陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】得，得，
成立，则成立，
而成立，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2. 若，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数是减函数，
所以，且，故；
由对数函数在上是减函数，
所以，故；
又在上是增函数，所以，故；
综上可知，.
故选：B.
3. 在内满足的的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由余弦函数的图象与性质可知，
，则，
又，或.
∴的取值范围为．
故选：A．
4. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】不等式有解，，
，
，
当且仅当，等号成立，
，，，
实数的取值范围是．
故选：D．
5. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】时，由数形结合知，此时有一个零点．
依据奇函数对称性知，时也有一个零点．
又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．因此共有3个零点．
故选：C．
6. 函数部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
当和时，单调递增，单调递减，
在，上单调递减，可排除BC；
当时，，图象不关于轴对称，可排除D.
故选：A.
7. 数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，
可得，
所以，即，
由题中所给方法知，，
.
故选：D.
8. 定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】，故函数在上单调递增，
，故存在唯一值满足条件，
即，，
当时满足，又函数在上单调递增，故是唯一解，
，.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，定义域，，，
所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，定义域，,所以偶函数，故B正确；
对于C，定义域，，
所以奇函数，故C错误；
对于D，定义域，,所以偶函数，故D正确.
故选：BD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题，则命题的否定是
B. 与不同一个函数
C. 定义在上的函数为奇函数的充要条件是
D. “且”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【解析】A选项：命题，
则命题的否定是，A选项错误；
B选项：定义域：，定义域：，定义域不同，
与不是同一个函数，B选项正确；
C选项：定义在上的奇函数在0处函数值为0，但在0处函数值为0的函数不一定是奇函数；所以他们不是充要条件的关系，C选项错误；
D选项：当且时，成立，满足充分条件；当时，且不成立，例如，，不满足必要条件；所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确.
故选：BD.
11. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ）
A. 是奇函数B. 是增函数
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则；令，则，
为奇函数，故A正确；
对于B，不妨设，则，
，在为增函数，又是奇函数，
在为增函数，故B正确；
对于CD，令，，则，，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则___________.
【答案】-2
【解析】因为，所以.
13. 对于集合，定义，且，，设，则_______
【答案】
【解析】由，得，当且仅当时取等号，则，
而，于是，，
所以.
14. 设x，y为实数，且满足，则__________.
【答案】2
【解析】依题意，设，其定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
又，则为奇函数，
因为，所以，
即，所以，
因为在上单调递增，所以，即有.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）求能使成立的实数的取值范围．
解：（1）当时，集合，，
所以，.
（2）由，可知，则，解得，
故实数的取值范围为．
16. 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
解：（1）根据数据，可得，，，
，，
函数的表达式为.
（2）由题意，水深，
即，，
，，，1，
，或，；
所以，该船在至或至能安全进港．
17. 设函数，其中，已知.
（1）求的最小正周期；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的最小值.
解：（1）因，
所以，
因为，所以，所以，
所以，又，所以，所以.
（2）因为，将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，
将图象向左平移个单位可得
，
因为，所以，
所以，此时，
所以的最小值为.
18. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）判断并证明函数在定义域中的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得，解得，
，
所以.
（2）在定义域中单调递减，证明如下：
设，，
则
，
因为，所以，，即，
所以在定义域中单调递减.
（3）不等式可整理为，
即，
因为单调递减，所以，即对于恒成立，
则，
当时，取得最小值，
所以的取值范围为.
19. 已知函数，若的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数取值范围；
②若，求实数的取值范围．
解：（1）
，
因为的最小正周期为，所以，即，
所以.
（2）①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是，另一个实根在，
当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意，
当一个根是，另一个实根在，由得，此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意，
综上的取值范围是；
②设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由①知，，，
所以，即，
，所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，
整理得，因为，所以，
解得或，又，所以，
所以的取值范围是.t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0