陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，解得，则，故，
因，所以，故A正确.
故选：A.
2. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，，
所以.
故选：D.
3. 设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】B
【解析】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，
由，得该数列首项为4，公差为2，
所以.
故选：B.
4. 已知函数，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为定义域为，且，
所以为偶函数，故排除A，D；
当时，，故排除B.
故选：C.
5. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，边长，边数，周长，面积，
所以得：，，
所以得：，，
因为：，
当时，，
所以得：，
，
当时，，也适用，
所以：，
所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确；
所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误.
故选：B.
6. 二次函数在区间上为减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵二次函数在上为减函数，
.
故选：D.
7. 设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，且，故，
即有，解得，
又，，故，即，
综上，.
故选：B.
8. 已知是数列的前n项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，又，
∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，
∴，∴，
∴①，
∴②，
①－②得，
∴，
∴不等式，
即，
即，
∵，
当且仅当，即时等号成立，∴.
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 第一象限角都是锐角
C. 在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为
D. 终边在直线上的角的集合是
【答案】AC
【解析】，A正确；
角也是第一象限角，不是锐角，B错误；
在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确；
终边在上的角的集合是，D错误．
故选：AC.
10. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列为等比数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
又，所以是等比数列，A正确；
同理，而，
所以是等比数列，B正确；
若，则，但，C错；
由A是等比数列，且公比为2，
因此数列仍然是等比数列，公比为4，
所以，D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，若方程有三个不同的零点，且，则（ ）
A. 实数的取值范围为
B. 函数在单调递增
C. 的取值范围为
D. 函数有个零点
【答案】BCD
【解析】作出函数的图像如图所示：
对于A，由图像可知，实数的取值范围是，故A错误；
对于B，由图像可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确；
对于C，由图像可知，，由，即，解得，所以的取值范围是，故C正确；
对于D，由，令，则，解得或，
由图象可知当时，方程有1个解，当时，方程有3个解，
所以函数有4个零点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的值域为__________．
【答案】
【解析】因，所以，，
所以，即的值域为．
13. 已知，则________.
【答案】
【解析】因为，
q，
已知，将其代入可得：
.
因为，所以.
14. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的取值范围为________.
【答案】.
【解析】设等比数列的公比为，
因为，可得，所以，
则
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，可得，则，
所以，即的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
解：（1）.
（2）.
16. 已知数列是单调递增等比数列，数列是等差数列，且.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由 得
即 即，解得或.
当时，，不满足单调递增，
当时，，满足单调递增，
故，所以.
又，所以，所以，
即数列与数列的通项公式为.
（2）利用等比数列前项和公式可得，
数列的前项和为，
数列的前项和为，
所以数列的前项和
，
即.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求在区间上的最值及取得最值时的值.
解：（1）已知，根据二倍角公式，可得：
，
所以的最小正周期.
令，，解这个不等式可得，.
即得到，.
所以的单调递增区间是，.
的最小正周期是，单调递增区间是，.
（2）先根据图象变换规则求的表达式：
将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，
得到的图象.
再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，根据“横坐标伸缩”的原则，
得到的图象.
因为，所以，.
当，即时，取得最大值，此时取得最大值.
当，即时，取得最小值，
此时取得最小值.
综上所得，在区间上的最大值是，此时；最小值是，此时.
18. 已知函数，不等式解集，
（1）设函数在上存在零点，求实数的取值范围；
（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．
解：（1）因为，则，解得，即，
又因为，
且，在内单调递增，则在内单调递增，
若函数在上存在零点，则，
解得，所以实数的取值范围．
（2）因为，
令，由可知，
则，
令，，
则在内的最小值为，
由的图象开口向上，对称轴为，
可得，解得，即实数的值为1．
19. 已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；
（3）记，是否存在互不相等正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.
解：（1）因为数列的前项和满足，
所以当时，，
两式相减得：，即，
又时，，解得：，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而.
（2）由（1）知：，
所以
，
对任意的，不等式都成立，即，
化简得：，令，
因为，故单调递减，
所以，故，
所以，实数的取值范围是.
（3）由（1）知：，
假设存在互不相等的正整数，，满足条件，
则有.
由与得，
即，
因为，所以.
因为，当且仅当时等号成立，
这与，，互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数，，满足条件.