陕西省西安市新城区2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市新城区2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵集合，，
∴.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
注意到要否定结论而不是否定条件，
所以命题“”的否定是：.
故选：B.
3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，所以BD选项错误.
，所以C选项错误.
故选：A.
4. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，
得到函数图象解析式：，
再向下平移1个单位长度后，
得到函数图象解析式：.
故选：D.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由不等式的性质可知由，
由.
故选：A.
6. 某工厂产生的废气经过循环过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为（是自然对数的底数，，为正的常数）．若前12消除了的污染物，则24后的污染物含量约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为，
当时，因为前消除了的污染物，
所以此时剩余的污染物含量为，即，
所以有，
两边同时除以（），得到.
对等式两边取自然对数可得：，解出，
将，代入可得：
，
所以后的污染物含量约为.
故选：C.
7. 若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】时，在上递减，不合题意；
时，函数图象的对称轴为直线，
因为函数在区间上不具有单调性，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
8. 设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数是偶函数
C. 函数的最小值为0D. ，若，则
【答案】C
【解析】选项A：因为，根据取整函数表示不超过的最大整数，
所以，而不是，A选项错误.
选项B：函数的定义域为，关于原点对称，，
例如时，，
；
，所以不是偶函数，B选项错误.
选项C：设，当时，，则，
此时，所以的值域是，其最小值为，C选项正确.
选项D：若，设，，，，
那么，所以，所以不存在，
使得当时，，D选项错误.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 若在上单调递增，则当时，
D. 若在上单调递减，则当时，
【答案】ACD
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
所以，.
A. 设，则，
所以是奇函数，故正确；
B. 设，则，
所以不是偶函数，故错误；
C. 因为函数是定义在上的奇函数，所以其图象关于原点对称，
若在上单调递增，则在上单调递增，当时，，正确；
D. 因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称，
若在上单调递减，则在上单调递增，当时，，正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 存在点，使得的图象关于点中心对称
B. 的一个周期为
C. 的值域为
D. 在内有且仅有2零点
【答案】BD
【解析】选项A：
若函数的图象关于点中心对称，则有恒成立.
对于，，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称.
假设存在点使得的图象关于点中心对称，，
若，的值不恒为常数，
所以不存在点，使得的图象关于点中心对称，A选项错误.
选项B：
若是函数的周期，则恒成立.
，
所以是的一个周期，B选项正确.
选项C：
因为，那么.
令，函数在上的值域是，因为，
所以值域是，不是，C选项错误.
选项D：
令，则，即.
当时，.
对于，当时，，
在单调递增，在单调递减，所以在内有个解.
当取其他整数时，.
所以在内有且仅有个零点，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题意得.
解得.
13. 已知正数，满足，则的最小值为________．
【答案】1
【解析】因为，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为1.
14. 若函数在定义域内存在单调区间，且其图象的两条对称轴分别为直线和，则的一个解析式可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，函数是周期函数，它的一个周期是，
又函数在定义域内存在单调区间，可选该函数为余弦型函数，令，
显然，
直线和是图象的对称轴，符合题意.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，且是第二象限角．
（1）求和的值；
（2）求的值．
解：（1），且是第二象限角，
，
．
（2）
．
16. 已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）是幂函数，
，解得或，
又幂函数在区间上单调递增，
，即．
（2）易知在上单调递增，
又，
，即，解得，
实数的取值范围为．
17. 已知函数.（，且）
（1）求函数的定义域；
（2）若函数在区间上的最大值为2，求实数的值．
解：（1）要使函数的解析式有意义，则
解得，
函数定义域为．
（2），
当时，，
当时，函数在上单调递减，
此时，
，即，解得（舍）．
当时，函数在上单调递增，
此时，
，即，解得或（舍）．
综上，实数的值为．
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）当时，求不等式的解集．
解：（1）由题意
，
函数的最小正周期为．
（2）因为函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，
由，解得，
当时，，
由，解得，
当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
（3）令，
解得或，
即或，
当时，方程的解为或，
结合（2）中单调性的结论知，当时，，
所以当时，不等式的解集为．
19. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质．
（1）试判断函数是否具有性质；
（2）证明：函数具有性质；
（3）若函数具有性质，求实数的取值范围．
解：（1）假设函数具有性质，
则存在，使得，
即，即，显然不成立，
假设不成立，即不具有性质．
（2）证明：，，，，
令，得，
即，即，
又函数的定义域为，，
函数具有性质．
（3）函数的定义域为，且具有性质，
，
即，
令，则，，
，
解得或，
当方程有一个正根时，即，即，此时．
当方程有两个正根时，当，即时，此时．
实数的取值范围为.