陕西省咸阳市2025届高考模拟检测(二)数学试卷（解析版）

这是一份陕西省咸阳市2025届高考模拟检测(二)数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则的子集个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】∵，即，∴，
∴，一共有3个元素，
∴的子集个数为.
故选：C.
2. 若是虚数单位，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 已知命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】：，.
故选：D
4. 已知，则函数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，，易知是减函数，
因为，又在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，当时，，
则函数最大值是，
故选：C.
5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由图易知，函数的最小正周期满足：，得到，
又，所以，解得，
又函数图象经过点，则有，解得，
所以，则，
故选：D.
7. 已知数列满足（，），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
则，
故选：B.
8. 2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为（ ）
A. 294B. 297C. 298D. 300
【答案】B
【解析】用2025，66，2，0，2，5这6个数的全排列为，又0排在首位有排法，
又有2个2，它位之间的排序有种排法，
当2，0，2，5这4个以2025这种顺序与66和2025排序有，
所以用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为.
故答案为：.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列与基本不等式有关命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则的最大值为
B. 若，，，则的最小值为
C. 若，，则
D. 若，，，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，，所以，所以，
所以，当且仅当时，取等号，则的最大值为，故A错误；
对于B因为，，，
所以，
当且仅当，即，时，的最小值为，故B正确；
对于C，因为，，则，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，因为，，，所以，所以，
所以
，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆C的半径为2
B. 满足的点M有1个
C. 的最大值为
D. 若点P在x轴上，则满足的点P有两个
【答案】ABC
【解析】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A正确；
选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是，
最小距离是，因此满足的点有两个，故B正确；
选项C：令，则，所以，
将点的坐标代入圆的方程并整理，得，
依题意有，即，
解得，因此的最大值为，故C正确．
选项D：不妨设，由于，所以，
整理得．
因为点在圆上，所以，则，
因为为点的横坐标，且点为圆上任意一点，
所以，得，
所以符合要求的点是唯一的，故D错误．
故选：ABC.
11. 若数列满足，，（），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ）
A. ，B.
C. ，使得，，成等比数列D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A，因为，因为，所以选项A正确，
对于选项B，因为又，所以，故选项B正确，
对于选项C，假设，使得，，成等比数列，则有，即，
前几项：，，，，，
则，，，
猜想，当时，猜想成立，
假设时，猜想成立，即成立，
则时，则
所以，对于任意的，都有成立，所以选项C错误，
对于选项D，因为，， ，
则
，
所以选项D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为__________.
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
13. 已知O为坐标原点，过双曲线（）的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点Q，若，，，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为，的中点为，连接，
因为，且为的中点，所以，
又因为，可得，即，所以，
则为等腰三角形，所以，
因为，所以，可得，
由双曲线的定义，可得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
14. 已知方程的两根为，（），若，不等式对任意的，恒成立，则正实数m的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为分别是方程的两个根，
即.两式相减，则，
则不等式，可变为，
两边同时除以得，，
令，则在上恒成立.
整理可得，在上恒成立，
令，
则，
①当，即时，在上恒成立，
则在上单调递增，
又，则在上恒成立，
②当，即时，当时，，
则在上单调递减，则，不符合题意.
综上：，所以的最小值为1，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若.
（1）求角C；
（2）已知，，D为AB边上一点，且，求CD.
解：（1）因为，所以由余弦定理可得，
整理得，所以，所以，
所以，因为，所以；
（2）因为，所以，又，
两边平方得，又，，，
所以，
所以.
16. 为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图.
（1）估算成绩的中位数；
（2）以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差；
（3）用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望.
解：（1）由图知，解得，
设中位数为，则，解得.
（2）由题知成绩在内的概率为，，
的可能取值为，
又，，
，，
所以的分布列为
.
（3）因为，则抽取的人中，有个成绩在，个在，
由题知的可能取值为，
又，，，
所以的数学期望为.
17. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中，，点E，F分别为棱AC，的中点，.
（1）求证：平面平面ABF；
（2）若.
①求平面的点法式方程和一般式方程；
②求平面与平面所成二面角的正弦值.
（1）证明：由四边形是正方形，所以
，
由于，，故，
所以，即，
由题得平面，又平面，所以，
因为，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：①由于，且平面，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为．
因为平面过定点，
所以平面的点法式方程为，
即平面的一般式方程为；
②设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为．
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
18. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证为定值；
（3）求内切圆的面积的最大值.
解：（1）由题意知，则，，则，∴，
∴椭圆C的方程：.
（2）由题意可知，
①当直线斜率不存在时，即直线方程为，∴，
即；
②当直线斜率存在时，设直线方程为：，，，假设，
则联立方程组整理得，
∴,,
,,
∴
，
综上所述：定值.
（3）的周长，
设的内切圆的半径为，则，
∴当面积最大时，的内切圆的半径最大，即内切圆面积最大.
，
由（2）可知，①当直线斜率不存在时，，
②当直线斜率存在且不为0时，
，
令，
∴，
综上所述：，当直线斜率不存在时取得最大值，
此时圆的半径，圆的面积.
19. 已知，.
（1）当时，求函数在的最小值；
（2）若函数为增函数，求实数的取值范围；
（3）若时，，，证明：.
（1）解：当时，，则，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在上恒成立，当且仅当时取等号，则在上单调递增，
所以函数在的最小值为.
（2）解：因为，则，
因为函数为增函数，则恒成立，
由（1），当且仅当，即时取等号，
所以.
（3）证明：因为时，，即，得到，
令，则，
令，则，
所以，即，
所以，
即.