2025年陕西省西安市长安区高考数学二模试卷（含答案）

这是一份2025年陕西省西安市长安区高考数学二模试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|−2≤x≤2}，B={x|lg2x0时，F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增．
(2)(ⅰ)解：函数g(x)=(x+1)ln(1+1x)−ln(2+1x)，
则g(1)=2ln2−ln3=ln43，g(−2)=−ln12−ln32=−ln34=ln43，
故g(1)−g(−2)=0．
(ⅱ)证明：函数g(x)的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞)．
若存在m，使得曲线y=g(x)关于直线x=m对称，
则(−∞,−1)∪(0,+∞)关于直线x=m对称，所以m=−12，
由g(−1−x)=(−x)ln(1+1−1−x)−ln(2+1−1−x)
=−xlnxx+1−ln2x+1x+1=xlnx+1x−ln2x+1x+1=(1+x)lnx+1x−lnx+1x−ln2x+1x+1
=(1+x)lnx+1x−ln2x+1x=g(x)．
可知曲线y=g(x)关于直线x=−12对称．
18.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，所以AD//BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD//平面PBC，
又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，
所以AD//l，
又因为AD⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD，
所以l//平面ABCD．
(2)证明：取AD与PB中点O，N，连接PO，OB，ON，MN，
则运用中位线性质知NM//12BC，NM=12BC且OD//12BC,OD=12BC，
则OD//MN，OD=MN，
则四边形ODMN是平行四边形，
△PAD是正三角形，易知，AD⊥OP，
底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，则△BAD是正三角形，则AD⊥OB，
OP∩OB=O，OP，OB⊂平面POB，所以AD⊥平面POB，
因为ON⊂平面POB，所以AD⊥ON，
由于四边形ABCD是菱形，四边形ODMN是平行四边形，
所以AD//BC，ON//DM，
所以BC⊥DM．
(3)由(2)知∠POB为二面角P−AD−B的平面角，即∠POB=60°，
前面知道AD⊥OB，则过O做AD的垂线Oz，
以O为坐标原点，直线OA，OB，Oz为坐标轴，建立空间直角坐标系O−xyz，如图，

设AB=2，则A(1,0,0)，D(−1,0,0)，C(−2, 3,0)，B(0, 3,0)，P(0, 32,32)，M(−1,3 34,34)，所以DM=(0,3 34,34)，AB=(−1, 3,0)，PB=(0, 32,−32)，
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=0n⋅PB=0，则−x+ 3y=0 3y−3z=0，
取n=(3, 3,1)，
设直线DM与平面PAB所成角为α，
则sinα=|DM⋅n||DM||n|=|0+94+34|32× 13=2 1313．
19.解：(1)因为直线l：y=2过抛物线C的焦点，
所以p2=2，
解得p=4，
则抛物线C的方程为x2=8y；
(2)因为△PMN为阿基米德三角形，
所以l1，l2分别与抛物线C切于点M，N，
设点M在y轴左侧，
此时M(−4,2)，N(4,2)，
易知y=18x2，
可得y′=14x，
所以l1的斜率为−1，l2的斜案为1，
所以l1⊥l2，
则∠MPN=90°；
(3)证明：由(1)知抛物线C的方程为x2=8y，
设l1，l2分别与抛物线C切于点Q(x1,x128)，R(x2,x228),x1,x2≠0，
由(1)知直线PQ的斜率为14x1，直线PR的斜率为14x2，
所以直线PQ的方程为y−x128=x14(x−x1)，
即y=x14x−x128，
同理得直线PR的方程为y=x24x−x228，
所以P(x1+x22,x1x28),A(x12,0),B(x22,0)，
设△PAB外接圆的圆心为G(m,n)，
此时圆心G在线段AB的垂直平分线上，
所以m=x1+x24，
则圆G的半径为|GA|= (x1+x24−x12)2+n2= (x2−x14)2+n2，
所以圆G的方程为(x−x1+x24)2+(y−n)2=(x2−x14)2+n2，
因为点P在圆G上，
所以(x1+x24)2+(x1x28−n)2=(x2−x14)2+n2，
即x1x24+x12x2264−nx1x24=0，
所以n=x1x2+1616，
所以(x−x1+x24)2+(y−x1x2+1616)2=(x2−x14)2+(x1x2+1616)2
整理得x2+y2−2y−x1+x22x+x1x24(1−y2)=0，
令x2+y2−2y=0x=01−y2=0，
解得x=0y=2．
则△PAB的外接圆过定点(0,2)．