内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试理科数学试题

这是一份内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试理科数学试题，共10页。试卷主要包含了 04，下列说法中，正确命题的个数为，设点 P是椭圆 C等内容，欢迎下载使用。

理科数学 2024. 04
本试卷共 23 题,共 150 分,共8页,考试用时 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内.
2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线C的方程为 x=−116y2, 则此抛物线的焦点坐标为
A. (-4,0) B.−140 C. (-2,0) D.−120
2.已知a，b是两个不共线的向量，命题甲：向量 ta+b与 a−2b共线；命题乙： t=−12,则甲是乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0), 且AC,BC 所在直线的斜率之积等于定值λ(λ≠0), 则
A. 当λ<0时, 顶点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆, 并除去(-1,0),(1,0)两点
B.当λ>0时,顶点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线,并除去(-1,0),(1,0)两点
C. 当λ<0时, 顶点C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆, 并除去(-1,0),(1,0)两点
D.当λ>0时,顶点C的轨迹是焦点在y轴上的双曲线,并除去(-1,0),(1,0)两点
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4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知鳖臑P-ABC的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的外接球的表面积为(单位：cm²)
A. 164π
B. 64π
C. 100π
D. 256π
5.若从正六边形的6个顶点中随机选出3个点，以选出的这3个点为顶点构成直角三角形的概率为
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
6.下列说法中，正确命题的个数为
① 已知随机变量X服从二项分布 Bn13, 若E(3X+1)=6, 则n=5.
②对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y=0.3x-m，若样本点的中心为(m,2.8), 则实数m的值是-4.
③ 以模型 y=ceᵏ去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，求得线性回归方程为 z=0.3x+4,则c,k的值分别是e⁴和0.3.
④ 若样本数据x₁,x₂,…,x₁₀的方差为2, 则数据: 2x1−1,2x2−1,⋯,2x10−1的方差为16
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D . 3个
7.设函数 y=x²+2x−10,y=2ˣ+2x−10,y=lg₂x+2x−10的零点分别为a,b,c, 则
A. a8. 已知函数 fx=lnex−2x,下列函数是奇函数的是
A. f(x+1)+1 B. f(x+1)-1 C. f(x-1)-1 D. f(x-1)+1
9.设点 P是椭圆 C:x236+y225=1上一点, F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点, 且△PF₁F₂的重心为G，若 |PF₁|=2|PF₂|,则△PF₁G的面积为
A.167 B.537 C.127 D.837
高三理数 第 2 页 共 8 页10.如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上.若 AP=λAB+μAC,则 λ+12μ的取值范围是
A.152 B.121 C.1365 D.1254
11. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知( c²=2,a²+b²=10,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点 P, 则直线AM,BN的夹角为
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
12.2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H , 作第2个正方形EFGH, 然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD边长为a₁，后续各正方形边长依次为a₂, a₃, …, an, …; 如图阴影部分, 设直角三角形AEH 面积为b₁, 后续各直角三角形面积依次为b₂, b₃, …, bn, ….若( a₁=8,下列说法中正确的个数是
①a₃=5;
②b3=7532;
③limn→∞∑i=1nbi=16;
④aₙ⋅bₙ是公比为 58的等比数列.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数z=2-i, 则 |z|=¯.
14. 在棱长为 2的正方体. ABCD−A₁B₁C₁D₁中，以A₁为球心、2为半径的球与正方体的面ABCD相交, 则交线长为 .
15. 将函数 fx=2sinωx+π6ω0)的图象向右平移 π6ω个单位,得到函数y=g(x)的图象, 若函数y=g(x)在 −π6π4上为增函数，则ω的取值范围是 .
16. 已知直线 y=33x+2与圆 C:x−12+y−32=8−43交于A，B两点，则直线AC,BC倾斜角之和为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)如图, 在三棱台 A₁B₁C₁−ABC中, △A₁B₁C₁和△ABC都为等边三角形, 且边长分别为2和4， CC₁=2,∠ACC₁=∠BCC₁=90°,G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, A₁B∥平面C₁GH .
(1) 求证: 点 H为线段BC的中点;
(2)求二面角 C₁−GH−B₁的余弦值.
高三理数 第 4 页 共 8 页18. (12分) 已知数列{ aₙ满足 a1+a22+a33+⋯+ann=2nn∈N∗,
(1)求数列 aₙ的通项公式；
(2)已知数列 bₙ满足 bn=an2n+1,
① 求数列 bₙ的前n项和 Tₙ;
② 若不等式 −1nλ高三理数 第 5 页 共 8 页
19. (12分) 我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Scre)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为 R2−RR−R1=G2−GG−G1,其中R₁，R₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( G₁,G₂分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R时，等级分为G.
某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)根据频率分布直方图求a，b的值，并估计此次化学考试原始分的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分.
高三理数 第 6 页 共 8 页等 级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]
20. (12分) 已知 x∈π4π.
(1) 将sinx, csx, x, −12x2+1按由小到大排列，并证明；
(2)令 fx=xeˣ+xcsx−2sinx−sin²x, 求证: f(x)在 x∈π4π内无零点.
21. (12分) 已知点P为圆 C:x−2²+y²=4上任意一点， A−20,线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 2|OS|+1|OT|的取值范围.
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(二)选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22. 选修4-4: 极坐标与参数方程(10分)
直角坐标系xOy中，曲线( C₁的参数方程为 x=sin2θy=sinkθ+cskθ(θ为参数),曲线( C₂的参数方程为 x=acst,y=1+asint,(t为参数, a>0).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线( C₃的极坐标方程为( θ=α₀,其中 α₀满足 tanα0=12.
(1) 当 k=1时，求曲线 C₁的普通方程；
(2)当 k=4时,若( C₁与 C₂在第一象限的交点在( C₃上,求a的值.
23. 选修4-5: 不等式选讲(10分)
已知 x≠y,
(1)化简: ①x2−y2x−y; ②x3−y3x−y;
(2)用数学归纳法证明： xⁿ−yⁿ 能被x-y整除.
高三理数 第 8 页 共 8 页赤峰市高三年级4·20模拟考试试题
理科数学答案 2024 . 04
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、填空题
13.5 14.2π2 15. (0,2] 16.4π3或240°
三、解答题
17.解(1) 连接A₁C, 设. A₁C∩C₁G=O,连接HO、A₁G…1分
三棱台 A₁B₁C₁−ABC,∴A₁C₁‖AC,又 CG=12AC=2, …2分
∴四边形A₁C₁CG为平行四边形,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴CO=OA₁, …………………………………………………………………………4分
又A₁B∥平面C₁GH, A₁B⊂平面A₁BC, 平面CBA₁∩平面( C₁GH=HO,
∴BA₁∥HO⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
∵四边形A₁C₁CG是正方形,O是A₁C的中点,∴点H是BC的中点.⋯⋯6分
2∵∠C₁CA=∠BCC₁=90°
∴C₁C⊥BC,CC₁⊥AC,BC∩AC=C则 CC₁⊥平面ABC
又 △ABC为等边三角形，
∴BG⊥AC,又(1) 知. A₁G‖CC₁,，建立如图所示的坐标系G-xyz，…………7分则 B2300,A020,G000,H3−10,C0−20,C10−22,
理科数学答案 第 1 页 共 6 页题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
C
D
A
B
B
D
D
C
B13−12 ……8分
设平面C₁HG 的法向量 n=xyz,
GC1=0−22,GH=3−10
则 −2y+2z=03x−y=0 令 y=3, 解得 n=133 …9分
设平面B₁GH 的法向量 m=abc,GB1=3−12
则 3a−b+2c=03a−b=0 令a=1, 解得 m=130 …10分
设二面角 C₁−GH−B₁的平面角为θ，
csmn=m−n|m||n|=1+312+32+32⋅12+32 =277 11分
又因为θ为锐角，所以 csθ=277 12分
18.解:(1) 因为 a1+a22+a33+⋯+ann=2nn∈N∗circle1,当 n=1,a₁=2
当n≥2时, a1+12a2+13a3+⋯+1n−1an−1=2n−1circle2 …1分
① -②得 1nan=2, 即 aₙ=2n ··2分
因为 a₁=2符合，所以 an=2nn∈N∗ ·3分
(2) ①
由(1)知 bn=an2n+1=n2n ·4分
所以， Tn=12+222+323+⋯+n2n
所以， 12Tn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1 …5分
两式相减得，
12Tn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1 …6分
理科数学答案 第 2 页 共 6 页 =121−12n1−12−n2n+1=1−n+22n+1 …7分
所以， Tn=2−n+22n2+2 ………………………………………………8分
② 由①得 −1nλ<2−n+22n+n2n=2−22n
设 cn=2−22n, 则数列{cn}是递增数列. …9分
当n为偶数时， λ<2−22n恒成立，所以 λ<2−222=32 …10分
当n为奇数时， −λ<2−22n恒成立，所以 −λ<2−221=1即,λ>-1…11分
综上，λ的取值范围是 −132. …………………………12分
19.解:(Ⅰ)由题意可知:10(a+b)=0.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
且10(2a+b)=0.35…………………………………2分
解得:a=0.005,b=0.025……………………………3分
可知每组的频率依次为: 0.05, 0.25, 0.45, 0.2,0.05……………4分
∴该同学化学原始分的平均值为：
50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5……………………5分
(Ⅱ)由频率分布直方图知：
原始分成绩位于区间[85,95)的占比为5%,……………………………6分
位于区间[75,85)的占比为20%,……………………………………7分
因为成绩 A 等级占比为15%，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间[75，85)，估计等级A的原始分区间的最低分为 85−15%−5%20%×10=80,……………8分已知最高分为 94， 所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为[80,94], ……………………………………………………………………………9分
(Ⅲ)由公式 R2−RR−R1=a2−G6−G1得:
94−8383−80=100−G6−86 ……………………10
分
解得: G = 89 ……………………………………………11分
所以该学生的等级分为89分.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
20. ( Ⅰ) 解: (1) 令 gx=csx+12x2−1,g'x=−sinx+x,gnx=−csx+1 ∵x∈π4π时,g"(x)>0恒成立.………………………………………………1分
理科数学答案 第 3 页 共 6 页∴g'(x)在 π4π上单调递增， g'x>g'π4=π−224>0,
故g(x)在 π4π上单调递增， …2分
从而 gx>gπ4=162+π232−1>0,
即 x∈π4π时，恒有 csx>1−12x2成立. …3分
又 sinx−csx=2sinx−π4, 由 x∈π4π, 知 x−π4∈03π4,
∴2sinx−π4>0,即sinx>csx.…4分
综上， −12x2+1(2) 要证f(x)在 x∈π4π内无零点，只需证 fx=xeˣ+xcsx−2sinx−sin²x>0.
6分
由(1)知 −12x2+1只需证 xex+x1−12x2−2x−x2>0 …7分
即证 xex−12x3−x2−x>0, 即证 ex−12x2−x−1>0. ··8分
令 ℎx=ex−12x2−x−1,则 ℎ'x=eˣ−x−1,ℎⁿx=eˣ−1,…9分
当x∈(0,+∞)时, 有h"(x)>0, 故h'(x)在 x∈π4π上单调递增，所以，
ℎ'x>ℎ'π4>ℎ'0=0 …10分
从而h(x)在 π4π上单调递增，所以 ℎx>ℎπ4>ℎ0=0.…11分
f(x)在 x∈π4π内无零点. …12分
21.解: (1) M为PA的垂直平分线上一点, 则|MP|=|MA|.………………1分
∴‖MA|−|MC‖=‖MP|−|MC‖|=2<|AC|=4. …2分
∴点M的轨迹为以A、C为焦点的双曲线, 且2a=2,c=2. ………………3分
理科数学答案 第 4 页 共 6页故点 M 的轨迹方程为 H:x2−y23=1. ………4分
(2) ( i ) 设 Mx₀y₀,Sx₁y₁,Tx₂y₂,
双曲线的渐近线方程为 y1=3x1circle1,y2=−3x2circle2,
①+②得, y1+y2=3x1−x2, ①--②得, y1−y2=3x1+x2,
∴y1+y23x1+x2=3x1−x2y1−y2, 即 y1+y2x1+x2=3x1−x2y1−y2, …5分
由题可知 |MS|=|MT|,∴x₁+x₂=2x₀,y₁+y₂=2y₀,
∴y0x0=3x1−x2y1−y2, 即 ksT=3x0y0, …6分
∴直线ST 的方程为 y−y0=3x0y0x−x0,即 3x0x−y0y=3x02−y02,
又∵点M 在H 上, ∴3x02−y02=3, 则 3x₀x−y₀y=3, …7分
将方程联立 x2−y23=13x0x−y0y=3, 得 y02−3x02x2+6x0x−3−y02=0,
∴−3x2+6x0x−3x02=0,由Δ=0可知方程有且仅有一个解，
∴l与H有且仅有一个交点.………………………………………………………8分
( ii)
由(i )联立 y=3x3x0x−y0y=3, 可得 x1=33x0−y0, 同理可得 x2=33x0+y0,……9 分
∴|OS|⋅|OT|=x12+y12⋅x22+y22=4|x1x2|=4×33x02−y02=4…10分
∴2|OS|+1|OT|=2|OS|+|OS|4≥22|OS|×|OS|4=2,
当且仅当 2|OS|=|OT|4即 |OS|=22时取等号.…11分
又∵|OP|∈(0,+∞),
∴2|OS|+1|OT|的取值范围为 2+∞ … …12分
22.解析: (1) 当k=1时, 曲线C₁的参数方程为 x=sin2θy=sinθ+csθ, …1分
可得 y²=1+2sinθcsθ=1+sin2θ=1+x, ··2分
又x=sin 2θ, 所以 y²=x+1,x∈−11 ···4分
(2)当k=4时, 曲线C₁的参数方程为 x=sin2θy=sin4θ+cs4θ, …5分
理科数学答案 第 5 页 共 6 页可得 y=sin2θ+cs2θ2−2sin2θcs2θ=1−12sin22θ=1−12x2, …6分
又x=sin2θ, 所以 y=1−12x2,x∈−11 …7分
由已知 tanθ=12,可得C₃的方程为 y=12x,
C₁, C₂的交点满足 y=12xy=1−12x2, 解得C₁与C₂在第一象限的交点为A (1， 12 )---…………………………8分由已知 x=acsty=1+asint(t为参数) ,所以 x²+y−1²=a² ①……………9分将点 A代入①可得 a=52. ·10分
23.解: (1) ① x2−y2x−y=x−yx+yx−y=x+y ·2分
circle2x3−y3x−y=x−yx2+xy+y2x−y=x2+xy+y2 …4分
(2)用数学归纳法证明： xⁿ−yⁿ能被x-y整除
证明: (1) 当n=1时, xⁿ−yⁿ=x−y显然能被x-y整除，命题成立。…5分
(2)假设当n=k,k∈N*时命题成立, 即. xᵏ−yᵏ能被x-y整除。设 xᵏ−yᵏ=mx−y………………………………6分则当n=k+1时, xᵏ⁺¹−yᵏ⁺¹=x∙xᵏ−y∙yᵏ
=x⋅mx−my+yᵏ−y∙yᵏ …………7分
=mx²−mx⋅y+x⋅yᵏ−y∙yᵏ
=mxx−y+x−yyᵏ
=x−ymx+yᵏ …………………………8分
∴当n=k+1时, 命题也成立 ……………………………9分
综合(1)(2)，命题对所有正整数都成立。 …………………………10分
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