内蒙古赤峰市2025年高考数学模拟试卷（4月份）（含答案）

这是一份内蒙古赤峰市2025年高考数学模拟试卷（4月份）（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量OZ=(1,2)，则|z−i|=( )
A. 3B. 3C. 2D. 2
2.在等差数列{an}中，a2=1，则a5−3a3=( )
A. −8B. −6C. −4D. −2
3.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)，f(ln2)f(ln3)=6，则a=( )
A. 2B. eC. 3D. e2
4.在(x+1)n的展开式中，x2的系数为15，则n的值为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
5.如图，一个质量为2kg的木块静止在与水平面成30°的斜坡上，已知重力加速度g=10m/s2，重力方向竖直向下，以水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系，那么重力G在斜面正方向(斜面向下为正方向)上的投影向量为( )
A. (−5 3,−5)B. (−5 3,5)C. (5 3,−5)D. (5 3,5)
6.已知函数f(x)满足：①f(x)在(0,+∞)上单调递增；②∀x，y∈R；都有f(x+y)=f(x)f(y)；③f(x)是偶函数，且f(2)+f(−12)=18，则f(x)的表达式为( )
A. 2x2B. 4|x|C. ln|x|D. 4x+6
7.已知双曲线Hc：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若直线x+y=0与H没有公共点，则H的离心率的取值范围为( )
A. (a, 2)B. (1, 2)C. [1, 2]D. [ 2+2)
8.已知函数y=sinωx与y=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形，则此三角形面积为( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据x1，x2，x3，⋯，x10满足x1−xi+1=3(2≤i≤10).若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比( )
A. 极差变小B. 平均数变大C. 方差变小D. 第25百分位数变小
10.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为Γ，则下列说法正确的是( )
A. V(x)=4x3−4ax2+a2x(x∈(0,a2))
B. 方盒容积的最大值为2a327
C. V(x)在区间(a6,a2)上单调递增
D. 当a=3时，V(1120)+V(1220)+V(1320)+⋯+V(2820)+V(2920)=19
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′′、O为底面A′B′C′D′的中心.M为侧面BCC′B′的中心，N是线段A′D上的动点.P为△A′BD内(含边界)的动点，则下列说法正确的是( )
A. OM/​/平面A′BD
B. PN⊥AC′
C. |OP|+|PC′|的最小值为 1143
D. 三棱锥A′−ABD的外接球的体积为6π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点P(−4,0)，Q(0,−2)的椭圆的标准方程为______．
13.已知二次函数y=14(x−1)2+1的图象是抛物线，则其焦点坐标是______．
14.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2+an，用[x]表示不超过x的最大整数，则[1a1+1+1a2+1+…+1a2015+1]= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A是锐角，且cs2A=−12．
(1)若mbc=b2+c2−a2，求实数m的值；
(2)若a= 3，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x+1)ex．
(1)求f(x)的单调区间及最小值；
(2)令g(x)=f(x)−a，求g(x)的零点个数．
17.(本小题15分)
如图，四边形ABCD为菱形，EF/​/平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF=AC=EC=2．
(1)求证：DE/​/平面ABF；
(2)若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE=60°，且四棱锥E−ABCD的体积是2 3．
①求BD的长；
②求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换．
(1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)两人进行n次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为pn．
①求p2；
②求pn．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，一个动点P到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线K．
(1)求曲线K的方程；
(2)若直线l过定点T(−2,1)，其斜率为k.当k分别为何值时，直线l与曲线K：只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点；
(3)过点F做两条互相垂直的弦AB、CD，分别交曲线K于A，B，C，D，令AB、CD的中点分别为M、N，过点F作FG⊥MN，垂足为G，求|OG|的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为复数z对应的向量OZ=(1,2)，所以z=1+2i，
所以|z−i|=|1+2i−i|=|1+i|= 12+12= 2．
故选：D．
由复数的几何意义可得z=1+2i，再根据题意计算复数的模即可．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：等差数列{an}中，a2=1，
则a5−3a3=(a2+3d)−3(a2+d)=−2a2=−2．
故选：D．
根据等差数列的性质求解即可．
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=ax(a>0,a≠1)，
所以f(ln2)f(ln3)=aln2⋅aln3=aln2+ln3=aln6=6，
所以ln6=lga6，
所以a=e．
故选：B．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：二项式展开式的通项公式为Tk+1=Cnkxn−k，k=0，1，2，，
由题意，当n−k=2，即k=n−2时，Cnn−2=Cn2=n(n−1)2=15，解得n=6或n=−5(舍)．
故选：A．
根据题意，写出二项式展开式的通项公式，列方程求解．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，斜面正方向与x轴正方向所成的角为−30°，
所以斜面正方向上的单位向量a=(cs(−30°),sin(−30°))=( 32,−12)，
根据木块的质量为2kg，可知木块的重力等于2×10=20N，可知重力对应的向量为b=(0,−20)，
因为a⋅b= 32×0+(−12)×(−20)=10，
所以b在a方向上的投影向量为a⋅b|a|2⋅a=10×( 32,−12)=(5 3,−5)．
故选：C．
根据题意，求出斜面正方向上的单位向量坐标与重力对应的向量，然后根据投影向量的公式加以计算，可得答案．
本题主要考查平面向量的数量积及其坐标运算、投影向量的概念等知识，考查了计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)满足：f(x)是偶函数，D不符合；
且f(2)+f(−12)=18，
对于A，f(2)+f(−12)=24+214≠18，故A不正确；
对于C，f(2)+f(−12)=ln2+ln12=0≠18，故C不正确；
对于B，f(x)=4|x|为偶函数，f(2)+f(−12)=42+414=18，且在(0,+∞)上单调递增，故B正确．
故选：B．
根据奇偶性以及f(2)+f(−12)=18可逐一判断．
本题考查函数的性质，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：双曲线Hc：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若直线x+y=0与H没有公共点，可得00，即0