河南省天一大联考2025届高中毕业班阶段性测试(七)数学试卷（含答案）

这是一份河南省天一大联考2025届高中毕业班阶段性测试(七)数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{an}的公差为3，则a10−a1=( )
A. 3B. 9C. 27D. 30
2.已知a>0，b>0且ab=4，则( )
A. lg2a⋅lg2b=2B. lg2a+lg2b=1
C. 2a⋅2b=16D. (2a)b=16
3.若z1，z2为方程z2=2i的两个不同的根，则z1z2=( )
A. −2iB. 2iC. −2D. 2
4.若双曲线C:x216−y29=1上的点A到点(5,0)的距离为4，则点A到点(−5,0)的距离为( )
A. 14B. 12C. 10D. 8
5.已知x，y∈(0,π2)，若sinx=35，csy=513，则cs(x−y)=( )
A. 865B. 1665C. 3365D. 5665
6.已知函数f(x)的部分图象如下，则f(x)的解析式可能为( )
A. sin2xx2+1+1B. sinxx2+1+1C. cs2xx2+1D. csxx2+1
7.若m2+4n2=5，且m>0，n>0，则m−2m2n+3的最大值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 32
8.与曲线y=ex和圆C:x2+y2−4x−12=0都相切的直线l有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△OAB中，若OA=(1− 3,1+ 3)，OB=(1,1)，点C在边OA上，点D在边AB上，且BC⋅OA=0，OD=λ(OA|OA|+OB|OB|)，λ∈R，则( )
A. |AB|= 6B. ∠AOB=π6C. |BC|=1D. |OD|=2 63
10.在三棱锥A−BCD中，已知AB=BC=CD=DA=2，BD=2 3，E为BD的中点，则下列说法正确的是( )
A. AC长度的取值范围是(0,2 2)
B. 直线AB与平面AEC所成的角为π3
C. 若AC= 2，则AE，BC所成的角为π3
D. 若AC=1，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为52π3
11.如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入A区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过n次随机选择后仓鼠在A区域的概率为xn，则( )
A. x1=0B. xn+12=xnxn+2C. x2n+1>x2n−1D. x2n−1+x2n0)的长轴长为2 3，左、右焦点分别为F1，F2，直线l:y=px+q与C交于P，Q两点，且满足OP⋅OQ=0(O为坐标原点)，当l变化时，△PF1F2面积的最大值为32．
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)证明：q2=p2+1;
(Ⅲ)过点O和线段PQ的中点作一条直线与C交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=tanx−ax．
(Ⅰ)当x∈(0,π4]时，f(x)π;
(ⅱ)判断数列{an+1−an}的单调性，并证明．
附：当x∈(0,π2)时，sinx0，
x1+x2=−4pq2p2+1，x1x2=2q2−32p2+1，
因为OP⋅OQ=0，
所以x1x2+y1y2=x1x2+(px1+q)(px2+q)
=(p2+1)x1x2+pq(x1+x2)+q2
=(p2+1)⋅2q2−32p2+1−4p2q22p2+1+q2=0，
化简得q2=p2+1，此时Δ>0成立，证毕．
(Ⅲ)设PQ的中点为M，
因为直线RS经过点O和点M，所以不妨设OR=t(OP+OQ)=2tOM，t>0，
，
SPRQS=2S△PRS=4S△OPR=8tS△OPM=4tS△OPQ=4t|q|· 4p2+12p2+1，
由OR=t(OP+OQ)，得R点的坐标为(t(x1+x2),t(y1+y2))，
又y1+y2=px1+q+px2+q=p(x1+x2)+2q=2q2p2+1，
所以t(x1+x2)=−4pqp2+1t,t(y1+y2)=2q2p2+1t,
代入C的方程得(−4pq2p2+1t)2+2(2q2p2+1t)2=3，
化简得8q2t22p2+1=3，则t= 3(2p2+1)8q2．
所以SPRQS=4 3(2p2+1)8q2⋅lqI⋅ 4p2+12p2+1
= 6⋅ 4p2+12p2+1= 6⋅ 2−12p2+1∈[ 6,2 3)，
即四边形PRQS面积的取值范围为[ 6,2 3).

19.解：(Ⅰ)由题意，f(x)tanxx对任意x∈(0,π4]恒成立．
设g(x)=tanxx=sinxxcsx，
则g′(x)=xcs2x−sinx(csx−xsinx)x2cs2x=2x−sin2x2x2cs2x，
当x∈(0,π4]时，2x∈(0,π2]，则2x>sin2x，
所以g′(x)>0，g(x)在(0,π4]上单调递增，
g(x)max=g(π4)=4π，所以a>4π，
即a的取值范围是(4π,+∞).
(Ⅱ)由题意可知tanan−an=0，即tanan=an．
(i)若a=1，f(x)=tanx−x，则f′(x)=1cs2x−1≥0在定义域内恒成立，
所以对任意n∈N∗，f(x)在区间(nπ−π2,nπ+π2)上单调递增，
又f(nπ)=−nπx+bn−12，即x>bn−1时，f′(x)>f′(x+bn−1)2，ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在x>bn−1时单调递增，
所以ℎ(bn+1)>ℎ(bn−1)=0，即f(bn+1)+f(bn−1)>2f(bn+1+bn−12)，
所以f(bn)>f(bn+1+bn−12).
因为f(x)在(0,π2)上单调递增，且bn，bn+1+bn−12∈(0,π2)，
所以bn>bn+1+bn−12，
综上，数列{an+1−an}是递减数列． X
30
40
50
60
P
16
12
310
130