河南省天一大联考2025届高三阶段性测试（六）数学试卷（含答案）

这是一份河南省天一大联考2025届高三阶段性测试（六）数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆C:x24+y25=1的焦距为( )
A. 1B. 2C. 4D. 6
2.若a,3,b,1成等比数列，则a⋅b=( )
A. 4B. 6C. 9D. 12
3.函数f(x)=sin2x3的最小正周期为( )
A. 3πB. 2πC. 3π2D. π
4.已知集合A=x|3ax−2≤0，则使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不必要条件是( )
A. 13c>aC. c>b>aD. a>c>b
6.已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名(排名无并列)，若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有( )
A. 524种B. 564种C. 624种D. 664种
7.已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，侧棱与下底面所成角的正弦值为2 3417，则该正四棱台的体积为( )
A. 12B. 14C. 15D. 16
8.已知∠AOB=π6，OB=2，且对任意的λ∈R，AB≤OB+λOA恒成立，则xOB−OA+xOB−12OA(x∈R)的最小值为( )
A. 2 5B. 2 3C. 3D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1,z2为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z12=0，则z1=0B. 若z12=−z22，则z1=z2=0
C. 若z1=z2，则z12=z22D. z1−iz1=z1+iz1
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为 2，点M在底面ABCD上(含边界)，且MD1= 3，则下列说法正确的是( )
A. 点M的轨迹的长度为π2
B. 直线BM与平面CDD1C1所成角的正切值最大为1+ 2
C. 平面AB1C截该正方体的内切球所得截面的面积为π3
D. 若动点N在线段BD1上，P为B1D1的中点，则MN+NP的最小值为 2
11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线C:x26−y2λ=1(λ>0)的离心率为2 33，左、右焦点分别为F1,F2，点Ax0,y0y0>0在C上，点B6x0,0，点D(0,t)在直线AB上，则下列说法正确的是( )附：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)在其上一点x0,y0处的切线方程为xx0a2−yy0b2=1．
A. F1F2=2 2
B. y0t=−2
C. 作F1H⊥AB于点H，则|OH|= 6(O为坐标原点)
D. 若AF2的延长线交C于点G，则▵AF1G的内心在定直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.统计学中通常认为服从正态分布Nμ,σ2的随机变量X只取(μ−3σ,μ+3σ)中的值，简称为3σ原则.假设某厂生产的包装盒的厚度(单位：mm)X∼N10,σ2，某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16mm，他立即判断生产出现了异常，由此可知σ的最大值为 ．
13.已知函数f(x)=x(x−2),x≤1x−2,13，若函数g(x)=f(x)−f(1−m)至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ．
14.已知某种长方体花岗岩的规格为30cm×20cm×10cm(其中第1,2,3个数分别为长、宽、高，且长≥宽≥高)，若从长方体某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取一次共可得到20cm×15cm×10cm,30cm×10cm×10cm,30cm×20cm×5cm三种不同规格的长方体，按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数m= ，在上述m种不同规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于10cm的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x(单位：元)与销量y(单位：百件)的对应数据，如下表所示：
(1)求该纪念品定价的平均值x和销量的平均值y；
(2)计算x与y的相关系数；
(3)由(2)的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合y与x的关系，并说明理由．
参考数据：i=15xi−xyi−y=−8, 6465≈0.992．
参考公式：相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2 i=1nyi−y2．
16.(本小题15分)
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+1Sn=an+2an．
(1)若S3=2，求a3；
(2)若a2=2a1，求Snan关于n的表达式．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−1⋅lnxx
(1)求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
(2)当x∈(0,2)时，求证f(x)≤x−1．
18.(本小题17分)
已知抛物线C:x2=2py(p>0),Q为C上一点．
(1)证明：以点Q为圆心且过点0,p2的圆与C的准线相切．
(2)若动直线l:y=kx+2与C相交于M,N两点，点P(t,−2)满足OP⊥l(O为坐标原点)，且直线PM,PN的斜率之和为2k．
(i)求C的方程；
(ii)过点Q作C的切线l′，若，求▵MPQ的面积的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在空间直角坐标系Oxyz中，点A,B,C分别在x,y,z轴上(点A,B,C异于点O)，且OA+OB+OC=3．
(1)当S▵OAB+S▵OAC+S▵OBC(S表示面积)取得最大值时，求点O到平面ABC的距离．
(2)若OA=12,OB=1,OC=32，动点M在线段AB上(含端点)，探究：是否存在点M，使得直线AC与平面COM所成角的正弦值为 25？若存在，求出AMBM的值；若不存在，请说明理由．
(3)记平面ABC与平面BCO、平面ACO、平面ABO的夹角分别为α,β,γ，比较csαcsβ+csβcsγ+csγcsα与1的大小关系，并说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.A
6.C
7.B
8.D
9.AD
10.ACD
11.BCD
12.2
13.−4, 2
14.8；38/0.375
15.解：(1)由题可知x=15(12+12.5+13+13.5+14)=13，y=15(14+13+11+9+8)=11；
(2)计算得i=15xi−x2=2.5,i=15yi−y2=26，
故r=i=15xi−xyi−y i=15xi−x2 i=15yi−y2=−8 65≈−0.992；
(3)由(2)可知，y与x的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1，
说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x之间的关系．
16.解：(1)令n=1，可得S2S1=a3a1，故S2=a3，
又S3=a1+a2+a3=2a3=2，所以a3=1．
(2)由Sn+1Sn=an+2an，可得S2S1=a3a1，S3S2=a4a2，…，SnSn−1=an+1an−1，
两边分别相乘得SnS1=anan+1a1a2，所以a2Sn=anan+1．
当n≥2时，a2Sn−1=an−1an，所以a2Sn−a2Sn−1=anan+1−an−1an，
即a2Sn−Sn−1=anan+1−an−1，即a2an=anan+1−an−1，
由题可知an≠0，所以an+1−an−1=a2，
所以an的奇数项、偶数项均成公差为a2的等差数列．
所以a2n−1=a1+(n−1)a2=(2n−1)a1，a2n=a2+(n−1)a2=2na1，
所以an=na1．
所以Sn=a1+2a1+3a1+⋅⋅⋅+(n−1)a1+na1
=[1+2+3+⋅⋅⋅+(n−1)+n]a1
=n(n+1)a12，
故Snan=n(n+1)a12na1=n+12．
17.解：(1)由题可知f′(x)=ex−1(xlnx+1−lnx)x2，则f′(1)=1，
又f(1)=0.故所求切线方程为y=1(x−1)=x−1．
(2)当x∈(0,2)时，要证f(x)≤x−1，即证lnxx≤x−1ex−1，
即证lnxelnx≤x−1ex−1在x∈(0,2)时恒成立．
令p(x)=xex，则p′(x)=1−xex，
故当x0，当x>1时，p′(x)