长郡中学2024-2025学年下学期高二数学假期作业（二）及参考答案

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一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．已知函数（）在内单调函数，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．函数（）的大致图像如图所示，则（ ）。
A、 B、
C、 D、
4．已知函数（），则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．若点在曲线：上任意一点，则点到直线：的距离的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、当时，在处取到极小值 B、当时，在处取到极大值
C、当时，在处取到极小值 D、当时，在处取到极大值
7．对于、（），均有恒成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．已知实数、、，且、、，其中为自然对数的底数，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、是的极小值点 B、有两个极值点
C、的极小值为 D、在上的最大值为
10．若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质。下列函数中具有性质的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
11．已知定义在上的函数与的导函数分别为和，若、，
且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）。
A、 B、函数关于对称
C、函数是周期函数 D、
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．已知函数，则 。
13．若函数（）的图像上存在直线平行的切线，则实数的取值范围为 。
14．已知函数，若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）设函数，求函数的单调区间和极值；
（2）求证：当时，恒有。
16．（本小题满分分）已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。
17．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）当时，证明：在定义域上为减函数；
（2）讨论函数的零点情况。
18．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若函数是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点、，证明：。
19．（本小题满分分）已知函数。
（1）求曲线：在点处的切线方程；
（2）记为的导函数，当时，证明：。