长郡中学2025年高二寒假作业检测数学答案(02.25)

这是一份长郡中学2025年高二寒假作业检测数学答案(02.25)，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、二、选择题
D【解析】,
由可得,解得,
则.故选D.
B【解析】设复数,由,得,解得.故选B.
A【解析】因为,
可得,又因为,
则,所以,整理得,
所以.故选A.
D【解析】由,得,由,
得,则,因此,在上的投影向量为.故选D.
A【解析】设双曲线的半焦距为,将代入双曲线可得,故,又,故由
得,即,则,即,则双曲线的离心率为,故选A.
6.C【解析】由题意得,.
令,则,
令,则,
令,则,当时,,
在区间(0,1)上是减函数,且,
,使得当时,,当时,,
在上为增函数,在为减函数.,
当时,在区间(0,1)上为增函数.
.
令,则,
在区间(0,1)上为增函数..故选C.
7.D【解析】因为,故原题干等式可转化为,
得,
设,则,解得,
因为,所以,
解得或,又因为,
所以,整理得,解得,
当且仅当时,等号成立.
因此,即,所以的取值范围是.故选D.
8.D【解析】由得,
为等比数列,,
,
,
①为奇数时,;
②为偶数时,,
只能为奇数,为偶数时,无解,
综上所述,.故选D.
9.ABD【解析】由题意知,函数的定义域为(0,2),
,由复合函数的单调性知,
函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,正确;
函数,即,
的图象关于直线对称,错误,正确.
故选ABD.
10.ACD【解析】A选项,如图1,取的中点,连接,
图1
因为点是棱的中点,所以且,
又是棱中点,所以且,故且,
故四边形为平行四边形,所以,
因为平面平面,
所以平面,A正确;
选项,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系如图2,,当是的中点时,,
故,
故,
故与不垂直,故与平面不垂直,错误;
选项,若在棱上运动(含端点),设,
图2
,
点到直线的距离
因为,所以当时,,
则点到直线的距离最小值为正确；
选项,如图3,连接,则,
其中,
,故,
又平面,故平面,
又三角形为等边三角形,设交平面于点,
图3
其中,
由于,故,点为的中心,
故四面体的外接球的球心在上,设球心为,则,
故,
根据得,
解得,所以外接球的半径为,
故其表面积为.
故若与重合时,四面体的外接球的表面积为正确.
故选【解析】令,得,则,对于时,,得或,时,,得,
所以和均在上,选项正确;对于B:因为曲线关于轴对称,当时,,所以,,所以时,最大,且最大值为,B选项正确；对于C:,因为曲线关于轴对称,当时,设,所以,
其中,因为可取任意角,所以的最小值为的最大值为,所以的最大值与最小值之和为选项错误;
对于D:等价为点在椭圆内,
即满足,即,
整理得,即恒成立,
故选项正确.故选ABD.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.
【解析】由题意可知时,时,；
又因为,所以在上单调递增,
因此可得时,恒成立,可得,
又,可得,综上可得,的取值范围是.
13.1728
【解析】甲队,先用捆绑法,将与捆绑有种排法,将与看作一个整体,再用除序法得种,利用计数原理可知,一共有种排法;
乙队,利用插空法得种,按照分步乘法计数原理可知,一共有种排法.
21(第1空2分,第2空3分)
【解析】当时,表示3个元素的有限集,
由可知或或或,
故;
由题意知,
故由可得,即,
解得或(舍去),
结合,故的最小值为21.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.【解析】
(2).
16.【解析】(1)因为,所以,
即,又因为,所以,
又因为,所以,因为,所以.
(2)在锐角中,由(1)得,所以,
所以,
,
由,所以,
所以的取值范围为.
(3)当取得最大值时,,解得,
在中,令,
则,所以,
又,
所以,
所以,
所以,
,
而,故当时等号成立,所以面积的最大值为.
17.【解析】(1)证明:翻折前,因为四边形为平行四边形,,则,
因为,则,由余弦定理可得,
所以,,则,同理可证,
翻折后,则有,因为平面,
所以平面,因为平面,则,
因为平面,所以平面,
所以平面平面.
(2)因为平面,以点为坐标原点,
的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
设,其中,
则,
设平面的法向量为,则
取,则,所以,,
设平面的法向量为,
则令,可得,
则,整理可得,
因此,线段上存在点,使平面与平面的夹角的余弦值为,且.
【解析】(1)设椭圆的焦距为,因为椭圆的离心率为,
所以,即,由,得,即,
所以直线的方程为,即,
因为原点到直线的距离为,故,解得,所以,
所以椭圆的标准方程为.
(2)(i)设直线的方程为,其中,且,即,
设直线与椭圆交于点,
联立整理得,
所以,
所以
为定值,得证.
(ii)法一:直线的方程为,令,得,故,
设直线与轴交于点,直线的方程为,令,得,
故,
联立整理得,解得或0(舍),
所以的面积,
由(i)可知,,故,代入上式,
所以,
因为点在轴下方且不在轴上,故或,得,
所以,
显然,当时,,当时,,
故只需考虑,令,则,
所以,
当且仅当,即时,不等式取等号,
所以的面积的最大值为.17分
法二:直线的方程为,令,得,故,
设直线与轴交于点,直线的方程为,令,得,
故,
由(i)可知,,故,所以点是线段的中点,
故的面积,其中为点到直线的距离,
思路1显然,当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时,取最大值,设直线的方程为,即,联立整理得,令,解得,
所以平行直线与直线之间的距离为,即的最大值为,
所以的面积的最大值为.
思路2因为直线的方程为,
所以,
依题意,,故,
所以,
因为在椭圆上,故,即,
所以,当且仅当时取等号,
故,
所以,即的面积的最大值为.
思路3因为直线的方程为,
所以,
因为在椭圆上,故,设,
不妨设,
所以,
所以,
当时,,即的面积的最大值为.
19.【解析】(1),
令,
,等号不同时取,
所以当时,在上单调递增,,
①若,即在上单调递增,
所以在上的最小值为,符合题意.
②若,即,此时,
又函数在的图象不间断,由零点存在性定理可知,
存在,使得,
且当时,在上单调递减,
所以,与题意矛盾,舍去.
综上所述,实数的取值范围是.
(2)(i)由(1)可知,当时,,
要证函数在上具有性质,即证当时,,
即证当时,.令,
则,即,
所以在上单调递增,.
即当时,,得证.9分(ii)法一:由(i)得,当时,,
所以当.
下面先证明两个不等式:①,其中;②,其中.
①令,则在上单调递增,
所以,即当.10分
②令,则,
所以在(0,1)上单调递增,故,
即当时,时,故,得.
据不等式②可知,当时,,
所以当时,,
所以当时,,
当时,时,,有.
所以.又,
所以.
法二:要证:.
显然,当时,,结论成立.
只要证当时,.
即证当时,,令.
所以,
所以在上单调递减,
所以在上单调递增,
所以在上单调递增,
所以,
即当时,.所以当时,.
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
A
D
A
C
D
D
ABD
ACD
ABD