长郡中学2024-2025学年下学期高二数学假期作业（一）及参考答案

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1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．D
7．A【详解】由可知，两边除以，，即，设，则由可得在上单调递增.因，则有，即，因为增函数，故有，即，故.故选：A.
8．D【详解】由，得，令，求导得，显然时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，，由，得，
则，即，于是函数有两个零点，等价于方程有两个正数解，令，求导得，显然在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，而函数在上的值域为，因此函数在上无最大值，函数值集合为；当时，令函数，求导得，令，求导得，则函数在上单调递增，，函数在上单调递增，，于是，，而函数在上的值域为，则在上无最大值，值域为，从而方程有两个正数解，当且仅当，所以实数a的取值范围是.故选：D
9．AC 10．BD
11．BCD【详解】，有，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，有极小值.，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，当时，有极大值.由的图象如图所示，由得或，由图象可知有3个解，可能有1，2，3，4个解，故方程可能有4，5，6，7个解.故选：BCD.
12． 13．
14．【详解】设直线与曲线和分别相切于 因为，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或，因为，所以故答案为：
15．【详解】（1）函数的定义域为，且，
因为是的极值点，所以，所以，解得.
当时，，则，当或时
；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）作出，随的变化情况表如：
所以在上的最大值只可能在或处取到，
，，而，所以在上的最大值为.
16．【详解】（1）由题意当时，，
当时，，综上可得.
（2）①当时，，则，
所以当时，，则在上单调递增；当时，，则在 上单调递减.所以当时，取最大值，且.
②当时，，当且仅当，即时等号成立.综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元.
17．【详解】（1）因，则，设函数与直线
相切的切点是，因为，所以，所以有，
可得，又，相减得，所以，所以，解得：；
（2）时，，的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，设函数，则，时，或时，，在和上单调递增，在上单调递减，时取极大值时取极小值，的取值范围为．
18．【详解】（1）若，则，所以，设过点的切线方程的切点为，，切线方程为，代入得，
解得，故切线方程为；
（2）当时，设，则，
令得，令得，所以，
设，则，令得，令
得，在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即.
19．【详解】（1）解：，当时，在上单调递增，
当时，令，解得，单调递减，
单调递增，综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由题意，则.要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，故只需证，又，所以只需证，即证，令，即
，由均值不等式可得（当且仅当，即时，等号成立）.所以函数在上单调递增.由，可得，即，所以，又函数在上单调递减，所以，即得证.
（3）法一：，则，令，
当时，，在上单调递增，且.①当时，在上单调递增，，符合题意，.
②当时，又在上单调递增，且当趋近正无穷，趋近正无穷，，使得，在上单调递减，在上单调递增，而，所以不合题意.综上：实数的取值范围为.
法二：，当时，恒成立，当时，由 得，即，令，即，
则，令，则.
在上单调递增，，
即在上单调递增，而，所以符合洛必达法则.
由洛必达法则得：实数的取值范围为.
法三：，当时，恒成立，
当时，由得，即，
设，又，则由拉格朗日中值定理可知：
令，即
又，在上单调递增，，
实数的取值范围为.
1
2
3
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增