湖南省2025届九年级下学期入学联考数学试卷(含解析)

这是一份湖南省2025届九年级下学期入学联考数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
2．从党的十九大到党的二十大，是“两个一百年”奋斗目标的历史交汇期，党中央团结带领全国人民全力推进全面建成小康社会进程，2018年至2020年全国农村贫困人口累计减少3046万人，年均减贫超过1000万人，用科学记数法表示3046万为（ ）
A．B．C．D．
3．“工”字型零件如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（）
A．B．C．D．
8．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（ ）

A．B．C．D．
9．若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，2），那么下列结论中：①abc＞0；②2a+b═0；③b2﹣4ac＞0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．正确的个数为（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
11．已知，则 ．
12．为了了解某校九年级学生的身体素质情况，在该校九年级随机抽取50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出频数分布直方图（如图，每组数据可含最小值，不含最大值），如果在一分钟内跳绳次数少于120次的为不合格，那么可以估计该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数为 .
13．若解关于x 的分式方程时产生增根，则 ．
14．已知，则的值是 ．
15．足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为 ．
16．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为 米．
17．如图，，是平分线上一点，交于，于，若，则 .
18．如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中
21．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
22．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：，
(2)点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长．
23．某商场经销水杯，电热水壶两种商品，水杯每个进价15元，售价20元；电热水壶每个进价35元，售价45元．
(1)若该商场同时购进水杯、电热水壶共100件，恰好用去2700元，求能购进水杯、电热水壶各多少个？
(2)商场求小明用1050元的钱（必须全都用完）采购水杯、电热水壶（或其中一种商品），且还要求总利润不少于340元（假设商品全部卖完），请你确定所有的进货方案．
24．如图是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑架．已知cm，cm，cm．

(1)如图1，当活动杆处于水平状态时，求：的值；
(2)如图2，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取2.236）
25．如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
26．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一个动点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若点在轴的上方且横坐标大于2，当的面积是时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《湖南省A佳教育2024-2025学年初三上学期入学联考数学试卷?》参考答案
1．B
解：的绝对值是，
故选：．
2．B
解：3046万，
故选：B．
3．C
解：由几何体可知，左视图是
故选：C．
4．A
解：A、，所以A选项符合题意，
B、，所以B选项不符合题意，
C、，所以C选项不符合题意，
D、，所以D选项不符合题意．
故选：A．
5．C
解：∵点关于原点的对称点在第一象限，
∴点在第三象限，
∴，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在数轴上表示如下：
．
故选：C．
6．A
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率为，
故选：A．
7．B
解：反比例函数，
反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大，
点都在反比例函数的图象上，且，
故选：B．
8．C
解：如图所示，连接，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
∴瞬间与空竹接触的细绳的长为，
故选：C．
9．D
解：不等式组整理得：，即，
∵不等式组的整数解共有2个，
∴不等式组的整数解为，，
∴的取值范围为：，
故选：D．
10．C
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴
∴2a+b＝0，②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，2），
∴当m＞2时，ax2+bx+c﹣m＜0，
∴当m＞2时，一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，④正确；
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，与直线y＝﹣1有两个交点，
∴方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，
设函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1两个交点的横坐标为x1，x2，函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1两个交点的横坐标为x3，x4
∵
∴x1+x2＝2，x3+x4＝2，
∴x1+x2+x3+x4＝4，
∴方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4，⑤正确；
故选：C．
11．/
【分析】本题考查比例的性质、分式的化简，由题意得到，代入式子即可化简解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．72
由频数分布直方图可知，这50名同学中不及格的学生数为4+8=12，
频率为12÷50=0.24，
该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数约有300×0.24=72，
故答案为72．
13．
解：方程变形得：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
令，解得：．
故答案为：．
14．25
解：∵，
∴
．
故答案为：25．
15．
解：正五边形的每个内角的度数为：，
正六边形的每个内角的度数为：，
，
故答案为：．
16．20
作DH⊥AB于H，
则DH=BC=30，
在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=10 ，
在Rt△ABC中，AB= =30 ，
则CD=AB﹣AH=20 （米），
故答案为20 ．
17．
解：作于E，
∵点P是平分线上一点，，，，

∴，
∴，
故答案为：．
18．/
解：∵的横坐标依次为，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，
则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
即，
故答案为：．
19．
解：
．
20．，
解：原式
，
当，原式．
21．(1)40，30，36
(2)
（1）解：获奖总人数为（人），
，即；
A所对的圆心角度数；
故答案为：40，30，36
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设,则，
∴，
解得，
即的长为．
23．(1)能购进水杯40个，电热水壶60个
(2)进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个
（1）设能购进水杯x个，电热水壶y个，
依题意，得，
解得，
答：设能购进水杯40个，电热水壶60个；
（2）设小明采购水杯m个，电热水壶n个，
依题意，得，
并且
由①得：
③代入②，得
解得
由③④知，要使n为0或正整数，m的值只能为56，63，70，n对应的值为6，3，0．
答：进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个．
24．(1)
(2)44.7 cm
（1）解：过点作，垂足为，
活动杆处于水平状态，
，
又，
四边形是矩形，
cm，cm，
cm，
cm，
在直角中，cm，
；
（2）解：过点作，交的延长线于点，交于点，

由题意得：cm，，，
在直角中，，
设cm，则cm，
cm，
cm，
，
解得：，
cm，cm，
cm，
cm，
cm，
cm，
在直角中， cm，
此时可伸缩支撑杆的长度为44.7cm．
25．(1)见解析；
(2)．
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵在中，，
∴设，则，
∴
又，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
26．(1)
(2)14
(3)存在，点的坐标为或
（1）解：将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）对于抛物线，
令，可得，即，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴，交于点，如下图，
设，则，
∴，
∵的面积是，
∴，即，
解得，
∵点在轴的上方且横坐标大于2，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，如下图，
对于抛物线，其对称轴为，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∴，，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即为等腰直角三角形，
设点，则，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，可有，
∵点到直线的距离等于点到点的距离的，即，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为或．