湖南省长沙市2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共15页。

A．20°B．25°C．30°D．35°
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝x2+x（3﹣x）
C．y＝ax2+bx+cD．y＝2x2﹣3x
4．（3分）如图在⊙O中，若点C是AB的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ）
A．45°B．80°C．85°D．90°
5．（3分）圆的半径是6cm，若圆心与直线的距离为6.5cm，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相交
C．相切D．相离
6．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东边升起B．明天下雨
C．明天的气温比今天高D．明天买彩票中奖
7．（3分）下列关于反比例函数y=-6x的结论中正确的是（ ）
A．图象过点（2，3）
B．图象在二、四象限内
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＞6
8．（3分）如图△BCD中，BD＝CD＝5，延长CD至点A，使AD＝3，连结AB，此时△ABC∽△ADB．则BC的长为（ ）
A．1063B．5153C．203D．45
9．（3分）在抛物线y＝x2上任取一点A（非坐标原点O），连接OA，在OA上取点B，使OB=13OA，则顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为（ ）
A．y=13x2B．y＝9x2C．y=19x2D．y＝3x2
10．（3分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（ ）
A．I=200RB．当I＞10时，R＞22
C．当I＝5时，R＝40D．当I＞2时，0＜R＜110
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：频率=钉尖向上的次数投掷次数）
下面有四个推断：
①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；
④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次．
其中合理的是 ．
12．（3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝3，则y2的解析式是 ．
13．（3分）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则c＝ ．
14．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则ABCD= ．
15．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD，CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为 ．
16．（3分）若抛物线y＝x2+x﹣m与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）在直角坐标系中，图案△ABO经过变化后，得到的相应图案如图①～⑥所示（虚线为原图案）．图①～图⑥中的图案变化前后，其中一点P（x，y）与之对应点的坐标之间各有什么关系？（填写表格）
18．（6分）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？
（2）任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？
（3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？
19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．
（1）求证：AB•AD＝AF•AC；
（2）若∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，求DF的长．
20．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点A（22，m ），点P是反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）图象上的一动点．过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y＝x于点G．
（1）求k与m的值；
（2）若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：OD//BC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长．
22．（9分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝33，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）【问题情境】
如图①，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y．
【分析及解决问题】
（1）①填空：FG＝ （用含x的代数式表示）；
②当x的值为多少时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
【拓展应用】
（2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地ABCD，其中AB＝40m，CD＝200m，∠C＝∠D＝45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，求修建的矩形停车场的面积的最大值．
25．（10分）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．
（1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；
（2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为y=3x，且四边形ABCD的面积为153，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
参考答案
1-10.
C
A
D
D
D
A
B
A
D
D
11.②．
12.y2=10x．
13.﹣2．
14.25．
15.1．
16.m＜-14．
17.解：填写如下：
18.解：（1）不同意，
因为白球的个数比红球的个数多，
所以摸到白球的可能性大；
（2）摸到白球的概率为23，红球的概率为13；
（3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0．
19.（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAC，
又∵BF＝BD，
∴∠BFD＝∠FDB，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴△AFB∽△ADC，
∴AFAD=ABAC．
∴AB•AD＝AF•AC；
（2）解：作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH=12AB＝2，CN=12AC＝3，
∴AH=3BH＝23，AN=3CN＝33，
∴HN=3，
∵∠BDH＝∠CDN，
∴△BHD∽△CND，
∴HDDN=BHCN=23，
∴HD=235，
又∵BF＝BD，BH⊥DF，
∴DF＝2HD=435．
20.解：（1）∵正比例函数y＝x与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点A（22，m ），
∴m＝22，k＝22m，
∴k＝8，
（2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），
∴S△GOH=12x2，
∵S△POH=12k＝4，
当P在A的上方时，S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4-12x2＝2，
∴x＝2（负数舍去），
∴P点的横坐标为2，
∴y=82=4，
∴P点的坐标为（2，4）；
当P在A的下方时，S△OPG＝S△GOH﹣S△POH=12x2﹣4＝2，
∴x＝23（负数舍去），
∴P点的横坐标为23，
∴P点的坐标为（23，433）；
故P点的坐标为（2，4）或（23，433）．
21.解：（1）∵AD=CD，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝8，
∴AE＝CE=12AC＝4，
∵DE＝2，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，
∴R＝5，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE=12BC，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝2×（5﹣2）＝6．
22.解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：
y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）
＝﹣2x2+400x+25000
∵每件售价不能高于240元
∴130+x≤240
∴x≤110
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数．
（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000
＝﹣2（x﹣100）2+45000
∴当x＝100时，y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．
（3）令y＝40000，得：
﹣2x2+400x+25000＝40000
解得：x1＝50，x2＝150
∵0＜x≤110
∴x＝50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．
∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．
23.证明：（1）连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵DE⊥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°＝∠E，
又∵∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝30°，BD＝BD，
∴△BDF≌△BDE （AAS）
∴BF＝BE＝33，
在Rt△BDF中，∠FBD＝30°，BF＝33，
∴DF＝tan30°×BF=33×33=3，
在Rt△ODF中，∠DOF＝2∠OBD＝30°×2＝60°，DF＝3，
∴OF＝tan30°×DF=33×3=3，OD＝2•OF＝23，
∴S阴影＝S扇形OAD﹣S△ODF
=60360π×（23）2-12×3×3
＝2π-332
=4π-332．
24.解：（1）①∵等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，
∴∠B＝∠C＝45°，AC＝AB＝10，BC=2AB＝102，
∵矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，DG＝x，
∴EF＝DG＝x，FG＝DE，∠BDG＝∠CEF＝90°，
∴△BDG和△CEF均为等腰直角三角形，
∴BD＝DG＝x，CE＝EF＝x，
∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝102-2x，
∴FG＝102-2x；
故答案为：102-2x；
②S矩形DEFG＝DE•DG＝（102-2x）x＝﹣2x2+102x，
当x=-1022×(-2)=522时，S矩形DEFG取得最大值，最大面积为25；
（2）如图，延长DA，CB交于点M，
根据题意可知，△CDM，△EFM，△DEH均为等腰直角三角形，
∵AB＝40m，CD＝200m，
∴DM＝1002m，
设EH＝x m，则DE=2EH=2x（m），
∴EM＝DM﹣DE＝1002-2x=2（100﹣x）m，
∴EF=2EM＝（200﹣2x）m，
∴S矩形EFGH＝EH•EF＝x（200﹣2x）＝﹣2x2+200x＝﹣2（x﹣50）2+5000，
∵﹣2＜0，0＜x≤80，
∴当x＝50时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为5000m2，
答：该矩形停车场的最大面积为5000m2．
25.解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形不是“完美四边形”．
故答案为：菱形、正方形；
（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD，如图1：
∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH=12BD，
∵AP＝1，PC＝5，
∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6，
∴OA＝OC＝OD＝3，
∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2，
∵四边形ABCD是“完美四边形”，
∴∠OPH＝60°，
在Rt△OPH中，sin∠OPH=OHOP=32，
∴OH=32OP=3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：DH=OD2-OH2=32-(3)2=6，
∴BD＝2DH＝26．
（3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，如图2：
∴∠BMO＝∠DNO＝90°，
∵四边形ABCD是“完美四边形”，
∴∠COD＝60°，
∴直线BD解析式为y=3x，
∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2），
联立y=a(x+3)(x-2)y=3x，整理得：ax2+（a-3）x﹣6a＝0，
∴xB+xD=-a-3a，xB•xD＝﹣6，
∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xB•xD＝（-a-3a）2+24，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
=12AC•BM+12AC•DN
=12AC（BM+DN）
=12AC（yD﹣yB）
=12AC（3xD-3xB）
=532（xD﹣xB），
∵四边形ABCD的面积为153，
∴532（xD﹣xB）＝153，
∴xD﹣xB＝6，
∴（-a-3a）2+24＝36，
解得：a1=-6-311，a2=6-311，
∴a的值为-6-311或6-311．
图号
图形的变化
对应点坐标的变化
①

②

③


④


⑤


⑥