湖南省三湘大联考2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省三湘大联考2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下面各数中，最小的有理数是（ ）
A．B．C．D．3
2．下面的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下面分式在时有意义的是（ ）
A．B．C．D．
4．2024年国庆档10部新片中的《志愿军：存亡之战》《危机航线》《出入平安》三部影片率先开映，《749局》《浴火之路》等七部影片于次日上映．根据国家电影局统计，2024年国庆档（2024年10月1日至7日）全国电影票房为亿元，观影人次为5209万．用科学记数法表示5209万时，下列写法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．不确定
6．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
7．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，已知是圆O的直径，A，B是圆O上的两点，交于点C，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11． ．
12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合条件的整数k的值为 ．
13．为庆祝建国75周年，某校开展了红色经典故事演讲比赛．8位评委给九（2）班某选手的打分（单位：分）分别为80，81，80，83，87，84，86，79．这组数据的中位数和平均数分别是 ．
14．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则 ．
15．如图是一顶用竹篾编制的圆锥形斗笠，若斗笠高为厘米，斗笠底部边沿的周长为厘米，则这个斗笠的表面积是 平方厘米．
16．若，则 ．
17．如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是 ．
18．阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ．
三、解答题
19．计算．
20．解方程组：．
21．今年我市的阳光玫瑰葡萄喜获丰收，阳光玫瑰葡萄一上市，水果店的王老板用2000元购进一批阳光玫瑰葡萄，很快售完；王老板又用3200元购进第二批阳光玫瑰葡萄，所购数量是第一批的2倍，但进价比第一批每千克少了2元．
(1)第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是多少元？
(2)王老板以每千克12元的价格销售第二批阳光玫瑰葡萄，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批阳光玫瑰葡萄的销售利润不少于1200元，剩余的阳光玫瑰葡萄每千克的售价最低打几折？（结果保留整数）
22．小明随机调查了部分市民一周时间内在网络平台上的购物次数m（单位：次），将获得的数据分成四组，绘制了如图所示的统计图（A：，B：，C：，D：），根据图中信息，解答下列问题：
(1)求本次调查的总人数；
(2)求C组的人数，并补全条形统计图；
(3)根据以上信息，你能得到什么结论？
(4)如果小明想从D组的甲、乙、丙三人中随机选择两人了解在平台上购物的经验，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
23．如图，在矩形中，点A，C的坐标分别为，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线与相交于点E．
(1)求直线，的解析式；
(2)求的值．
24．如图，是半圆的直径，圆心为．，是劣弧上一点，过点作的切线交的延长线于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)设，过点作交半圆于点，请用含的代数式表示的长，并求出当是多少时，点与点重合．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
(3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
26．【问题背景】
（1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：．
【问题拓展】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：．
【拓展探究】
（3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：．
《湖南省三湘大联考教育联盟2024-2025学年九年级下学期3月联考试卷.》参考答案
1．B
解：、是无理数，
只需要比较和的大小，
，
最小的有理数是，
故选：B．
2．B
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．A
解：A、当时，分母，分式有意义，符合题意；
B、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
C、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
D、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
故选：A．
4．C
解：5209万，
故选C．
5．A
解：在菱形中， ，
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴，
故选：A
6．D
解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
7．B
解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选B．
8．D
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
∴；
故选：D．
9．A
解：与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，
，则，
，
故选：A．
10．A
解：根据题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，，，
∴．
故选：A
11．
解：，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
13．
解：将数据从小到大排序得79，80，80，81，83，84，86，87，则这组数据的中位数是；
这组数据的平均数是；
故答案为：．
14．
解：，，
, ∴
垂直平分
∴
∴．
故答案为：．
15．
解：斗笠底部边沿的周长为厘米，
斗笠底部半径为，
圆锥的母线长为，
这个斗笠的表面积．
故答案为：．
16．
解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：10．
17．
解：如图，连接，过作于，
∵在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点， ，，
∴，，，设垂足为K，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点F到边的距离是；
故答案为：
18．
解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
19．
解：
；
20．
解：，
由①②得；
将代入②得，
解得；
原方程组的解为．
21．(1)第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元．
(2)剩余的葡萄每件售价最少打8折
（1）解：设第一批葡萄每千克进价x元，则第二批葡萄的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元．
（2）解：设剩余的葡萄每千克售价打y折．根据题意，得
得到．
答：剩余的葡萄每千克的售价最少打8折．
22．(1)
(2)，补图见解析；
(3)见解析
(4)恰好选中甲的概率为
（1）解：这项调查被调查的总人数是：（人）；
（2）解：∵C组的人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：根据条形图与扇形图可得：网上购物已经被众多的市民接受，成为生活需要.
（4）解：从类的甲、乙、丙三人中随机选择两人的情况：画树状图如下：
所有等可能的结果数为9种，恰好选中甲有4种，则恰好选中甲的概率为．
23．(1)直线的解析式为，直线的解析式为；
(2)
【分析】（1）先求解，再利用待定系数法求解直线，的解析式即可；
（2）如图，过作于，求解，结合，可得，求解，可得，，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：在矩形中，点A，C的坐标分别为，
∴，，
∴，
设为，
∴，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
24．(1)证明见解析
(2)；当时，点与点重合
（1）证明：连接，如图所示：
是的切线，
，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，则；
（2）解：如图所示：
，
，
，，
，
由垂径定理可知，，
，
，
，
，则，
，解得，
则；
当点与点重合，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，则，
由上面求解过程可知，则，
解得．
25．(1)
(2)曲线顶点坐标为，解析式为
(3)，正方形的边长为
（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，
∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，
∴，正方形的边长为．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
证明：（1）∵D是的中点，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴分别为的中点，
又∵D是的中点，
∴，，
∴；
（3）如图，延长至，使，
∵，，
∴，
∴，，
在上取点，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
当在线段上，如图，
同理可得：.