浙江省G5联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省G5联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省G5联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题原卷版docx、浙江省G5联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷共 5 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字
.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 若复数 ， 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
2. 已知 ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 若 ， 表示两条直线， ， ， 表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
B 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
4. 如图 平面直角坐标系 中，线段 长度为 2，且 ，按“斜二测”画法水平放置的平面
上画出为 ，则 （ ）
第 1页/共 6页
A. 4 B. C. D.
5. 在 中， 为边 的中点，对于 所在直线上的任意点 ，均有
，则 的形状一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
6. 已知复数 ， 为虚数单位，则对于 ， 的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
7. 在正四棱锥 中， ，球 与四棱锥 的所有侧棱相切，并与底面
也相切，则球 的半径为（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 已知圆锥的轴截面顶角为 ，侧面展开扇形的圆心角为 ，则 为（ ）
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不存在
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 设平面向量 ， ， 均为非零向量，且 ，则下列命题正确 是（ ）
A. 若 ，则 B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 已知四棱锥 如图， 且 ， ， 分别是 ， 的中点，则下列说
法正确的有（ ）
第 2页/共 6页
A. 平面
B. 四棱锥 体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则
C. 平面 与平面 的交线记为 ，则直线 平面
D. 平面 与平面 的交线记为 ，则直线 平面
11. 图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰
数据：于山脚 处测得峰顶 的仰角为 ，从 出发选择地平面方向 使得 ，前进至点
恰使 ，测得前进距离 ．若峰顶 在 所在地平面垂直投影点为 ，山坳
处有一个憩息点 ，观测峰顶 的仰角为 ， 在地平面投影点 落在 上， ，下列说法
正确的是（ ）
A.
B.
C. 从 点观测峰顶 的仰角为 ，则
D. 从 点观测点 的仰角为 ，则
非选择题部分
第 3页/共 6页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ， 为平面中的单位向量，满足 ，若 ， ，且 ，则实数
________．
13. 已知复数 的实部为 1，且 ，若 是关于 的方程 ， 的根，则
________．
14. 已知圆台的一个底面面积为 ，且有半径为 的内切球，则该圆台体积为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积．
16. 已知长方体 中 ， ，其外接球的表面积为 ，平面 截去长
方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，其体积为 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求棱 的长；
（3）求几何体 的表面积．
17. 如图所示，直三棱柱 的所有棱长均相等，点 为 的中点，点 为 的中点．
第 4页/共 6页
（1）求证： 平面 ；
（2）若棱长 ，求此直三棱柱的体积；
（3）若三棱锥 的体积为 ，求该三棱柱的外接球表面积．
18. 如图，设 是平面内相交成 的两条射线， 分别为 同向的单位向量，定
义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记 .
（1）在 仿射坐标系中
①若 ，求 ；
②若 ，且 与 的夹角为 ，求 ；
（2）如上图所示，在 仿射坐标系中，B，C 分别在 轴， 轴正半轴上，
分别为 BD，BC 中点，求 的最大值.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均
小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 所对的边分
别为 ， ， ，设点 为 的费马点，记 ， ， ．
第 5页/共 6页
（1）若 ，
①求 ；
②若 ，求 值；
（2）若 ， ，求实数 的最小值．
第 6页/共 6页