浙江省G5联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份浙江省G5联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析），共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 若复数，为虚数单位，则的虚部为（ ）
2. 已知，，则在方向上的投影向量为（ ）
3. 若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
4. 如图的平面直角坐标系中，线段长度为2，且，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为，则（ ）
5. 在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（ ）
6. 已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（ ）
7. 在正四棱锥中，，球与四棱锥的所有侧棱相切，并与底面也相切，则球的半径为（ ）
8. 已知圆锥的轴截面顶角为，侧面展开扇形的圆心角为，则为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
9. 设平面向量，，均为非零向量，且，则下列命题正确的是（ ）
10. 已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ）
11. 图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
12. 已知，为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数________．
13. 已知复数的实部为1，且，若是关于的方程，的根，则________．
14. 已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
16. 已知长方体中，，其外接球的表面积为，平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，其体积为．

(1)证明：平面平面；
(2)求棱的长；
(3)求几何体的表面积．
17. 如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点为的中点，点为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若棱长，求此直三棱柱的体积；
(3)若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积．
18. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.

(1)在仿射坐标系中
①若，求；
②若，且与的夹角为，求；
(2)如上图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在轴，轴正半轴上，分别为BD，BC中点，求的最大值.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，，，设点为的费马点，记，，．
(1)若，
①求；
②若，求的值；
(2)若，，求实数的最小值．
浙江省G5联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．1
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
A．4
B．
C．
D．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．钝角三角形
A．2
B．1
C．
D．
A．
B．1
C．
D．
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不存在
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则
A．平面
B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
C．平面与平面的交线记为，则直线平面
D．平面与平面的交线记为，则直线平面
A．
B．
C．从点观测峰顶的仰角为，则
D．从点观测点的仰角为，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
2
适中
11
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
求复数的实部与虚部；复数代数形式的乘法运算
2
0.65
数量积的坐标表示；求投影向量
3
0.65
面面关系有关命题的判断；线面平行的性质
4
0.65
余弦定理解三角形；斜二测画法中有关量的计算
5
0.65
利用坐标求向量的模
6
0.65
求二次函数的值域或最值；求复数的模；共轭复数的概念及计算
7
0.65
多面体与球体内切外接问题；证明线面垂直
8
0.4
弧长的有关计算；求sinx型三角函数的单调性
二、多选题
9
0.65
数量积的运算律；数量积的坐标表示
10
0.65
证明线面平行；线面平行的性质；锥体体积的有关计算
11
0.4
高度测量问题；角度测量问题；证明线面垂直
三、填空题
12
0.85
垂直关系的向量表示
13
0.85
由复数模求参数；复数范围内方程的根
14
0.4
台体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角形面积公式及其应用
16
0.65
求组合多面体的表面积；证明面面平行；多面体与球体内切外接问题；求组合体的体积
17
0.65
多面体与球体内切外接问题；证明线面平行；柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算
18
0.15
求含sinx(型)函数的值域和最值；向量模的坐标表示；三角恒等变换的化简问题；数量积的坐标表示
19
0.4
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用；基本不等式求和的最小值
序号
知识点
对应题号
1
复数
1,6,13
2
平面向量
2,5,9,12,18
3
空间向量与立体几何
3,4,7,10,11,14,16,17
4
三角函数与解三角形
4,8,11,15,18,19
5
函数与导数
6
6
等式与不等式
19