浙江省G5联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省G5联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了 的展开式中的系数为等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4、考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，所以，
故选：D.
2. 在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（ ）个平面
A 56B. 70C. 210D. 336
【答案】A
【解析】由题意不可能出现3点共线的情况，所以一共可以作个平面.
故选：A
3. 已知函数在处有极值，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，由题有，
解得，所以，
令，得到或，
当时，，当时，，
所以是的极大值点，即满足题意，
故选：C.
4. 已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则，又为等差数列，
则其公差，
所以，故，
所以，而不等式恒成立，
所以，即实数的最小值为.
故选：B
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】可先求展开式通项公式，.
当中与展开式相乘时，令，，，系数为.
当中与展开式相乘时，
令，，，系数为.
将两项系数相加，.所以展开式中的系数为12.
故选：C.
6. 盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】第一次抽取总共有个球，抽取任意一种颜色球的概率都不为0，不妨先抽取黑球，其概率为，
第二次抽取时，因为第一次抽取黑球后放回并放入1个黑球，此时球总数变为个，
黑球有个，白球还是2个，红球为1个，若第二次抽取白球，其概率为，
第三次抽取时，由于第二次抽取白球后放回并放入1个白球，此时球的总数变为个，
黑球有个，白球有个，红球为1个，若第三次抽取红球，其概率为，
而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取红球只是其中一种顺序，
三次抽取不同颜色球的顺序还有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取红球；
第一次抽取黑球、第二次抽取红球、第三次抽取白球；
第一次抽取红球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球；
第一次抽取白球、第二次抽取红球、第三次抽取黑球；
第一次抽取红球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球这5种情况.
每种情况的概率都是，
所以3次颜色均不相同的概率为.故选：A
7. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知，其定义域为，
对求导，可得：
令，即，则，解得．
当或时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以在处取得极小值，也是最小值，．
令，则．
函数恰有个不同的零点，
即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，且其中一个根为，另一个根． 则，
解得 .
实数的取值范围是．
故选：B．
8.对于数列，称数列为它的“和数列”.若存在，使得对任意,有,则称为“有界数列”.已知,,,，，则在数列，，及其它们的和数列这6个数列中，有界数列的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】对于前面的三个数列，可以考虑用蛛网图法来进行求解，
以数列为例，，
于是作函数，

，所以从A点出发作与相交于B，
再作交于点C，

由此可以看出，
重复上述操作可以发现（其中为的较小零点），

所以是收敛的数列，
同理数列的图像如下，

所以，

所以，
（如果不是有界数列，两条曲线是不会有交点的，具体图像可以利用函数求导大致画出是否有零点），
对于和函数，
所以数列和函数发散，
易知，由不等式得，
则，故单调递减，
单调递减趋于，的和数列发散（类似于调和级数），无界.
因单调递减趋于0，故单调递减趋于0，
即有界，且的和数列收敛（类似于），有界.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ）
A.
B. 展开式中所有项的系数和为32
C. 展开式中常数项为32
D. 展开式中x的奇次项的系数和为121
【答案】ACD
【解析】由题设，
则展开式通项为，
，
令，则展开式中所有项的系数和为，A对，B错；
令，则常数项为，C对；
若，由B分析，
令，则，故x的奇次项的系数和为，D对.
故选：ACD
10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有种不同的放法
B. 恰有两个盒子不放球，共有360种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种
D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种
【答案】BC
【解析】A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错；
B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种，
最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对；
C：从四个编号中选2个放同编号的球有种，
若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法，
所以，共有种，对；
D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错.
故选：BC
11. 已知函数，，则以下结论不正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，且，则
D. 若，且，则
【答案】ACD
【解析】选项A：
因，故，故A结论错误；
选项B：因，
故
，故B结论正确；
选项C：，
故由得，得，
整理得，
即，故当时，或，
故C结论错误；
选项D：由得，
由得，
得，由选项C可知D选项结论错误，
故选：ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻的排法种数为__________种.
【答案】
【解析】先把甲乙捆绑看出一个元素，进行全排列，再对甲乙元素全排列，
则甲，乙两位同学相邻的排法种数为种不同的排法.
故答案为：.
13. 甲，乙，丙，丁，戊5名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为，则__________.
【答案】
【解析】由题意，，，
当时，第次传球在乙手中概率为，
故第次传球不在乙手中的概率为，
所以，则，而，
所以是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，故.
故答案为：
14. 设是集合，且m，n，中所有的数都是从大到小排列成的数列，已知，则__________.
【答案】
【解析】设，且m，n，，
将写成的形式为，
令，
可将分成如下三个子集：，
这里，
，
下面求这三个集合中元素的个数：
，其元素个数为，
，其元素个数为，
，其元素个数为，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）由题设，则，故，而，
所以曲线在点处的切线方程，
所以切线为；
（2）由题设，恒成立，
令且，则，
若，
当，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递增，
所以，只需恒成立，
令且，则，
所以在上单调递减，且，
故时，
所以.
16. 数列的首项，且，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的最大项.
解：（1）因为，所以，
又，所以，则，
所以，又，
所以，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，
所以，
令，
则，解得，
又，所以当且时，当且时，
又，所以，
所以的最大项为.
17. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.
（1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.
（2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下,答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功概率.
解：（1）（i）已知，则.
在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率.
根据全概率公式，将上述概率值代入可得：
.
（ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率
根据贝叶斯公式.
由前面计算可知，，，代入可得：
.
（2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）.
已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为.
则；
；
.
因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、、题，其概率为.
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
.
18. 设函数.
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）证明：当时，；
（3）证明：当时，有.
解：（1）的定义域为，，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故有极小值.
综上有的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为0，无极大值.
（2）要证，即证，
即证.
令，则，
因为，故，故在上单调递增.
故，即得证.
（3）由（2）可得当时，
令，且，
则，即
故，.
又，故，即.
则
.
故，即得证.
19. 设集合为实数集，其中，对U的非空子集A，若满足：①若，则，；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”.
（1）若，，直接写出，的所有“平衡子集”；
（2）若，
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，，，用表示U的元素个数为n的子集个数，求的值，并说明理由.
解：（1）由题可得的平衡子集为：；
由题可得的平衡子集为：；
（2）（ⅰ）由题可得，U中所有元素之和的算术平均数为：，
又注意到，
而这样的相加为的组合，U中有组，
注意到这些组合的算术平均数及这些组合相加的算术平均数均为
又U的所有“平衡子集”都由这些组合所组成.
则U的所有“平衡子集”的个数为：
（ⅱ）由（ⅰ）可得U的所有元素的算术平均数为，
则“平衡子集”的元素个数应为偶数，则.
又注意到表示从（ⅰ）中涉及的相加为的n个组合中，选择个的个数，
则，
则.
又由题可得，
则.
因，则，
一方面从个元素中选n个元素，有种方法.
另一方面，可将个元素分为2组，每组n个元素，则从个元素中选n个元素，
可先从第一组取k个，再从第二组取个，其中，则有种方法.
两种方法是等价的，则.
又，
则.
题号
第1题
第2题
第3题
得分
2分
4分
6分