2025年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅱ卷03）（原卷版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅱ卷03）（原卷版），共4页。试卷主要包含了若，，则下列不等式正确的是，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
3．一组数据的分位数是（ ）
A．10B．12C．4D．3
4．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若存在实数，使得对任意，恒有，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线的右支交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：，.则（ ）
A．0B．1C．2024D．2025
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的解集为
B．若，则函数有2个零点
C．若的值域为R，则的取值范围为
D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，是底面上一动点（异于点），则下列结论正确的是（ ）

A．直线与所成角的正切值为
B．直线与平面所成角的余弦值的最大值为
C．若，则动点的轨迹长度为
D．若，则的轨迹是圆的一部分
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 ．
13．一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 ．
14．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在锐角三角形中，分别为内角所对的边，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
16．（15分）
某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得三等奖，奖金20元.
(1)记随机变量为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）；
(2)假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率.
17．（15分）
如图1，直角梯形中，，，，，，为上靠近的三等分点，将沿翻折至，且平面平面，，如图2.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
18．（17分）
已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点.
(1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.
19．（17分）
已知函数.
(1)若，求函数的单调区间.
(2)若有两个零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．