2025年高考第二次模拟考试卷：数学（天津卷02）（考试版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试卷：数学（天津卷02）（考试版），共5页。试卷主要包含了已知函数是偶函数，则，已知是锐角，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知一组数据：70，72，75，76，82，83，84，a，90，其中第70百分位数是84，则该实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
7．设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（ ）
A．无最大值，无最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．有最大值，有最小值
8．如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．3C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．是虚数单位，复数的虚部为 .
11．的展开式中，的系数是 （用数字作答）
12．已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 .
13．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排5名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排一人，则不同的安排方案数为 ，如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，乙、丙至少安排一人，则不同的安排方案数为 ．
14．在中，点分别在边上，，若交于点，则 ；当时，的面积为 .
15．函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14分）
在锐角中，角的对边分别为． 已知的面积为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．（本小题满分15分）
如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
18．（本小题满分15分）
已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程．
19．（本小题满分15分）
已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列和的通项公式.
(2)记，求数列的前项和.
(3)记，求.
20．（本小题满分16分）
已知函数，其中.
(1)当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数）
(2)已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值.