2025年高考第二次模拟考试卷：数学（天津卷01）（解析版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试卷：数学（天津卷01）（解析版），共15页。试卷主要包含了下列函数不是奇函数的是，若，则a，b，c的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，所以.故选：C.
2．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，都是不等于1的正数，
由，得，；
反之，由，得，若，，则，故不成立．
“”是“”的充分不必要条件．
故选：B．
3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于，
由此可得．故选:A.
4．下列函数不是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A , 定义域为,所以为奇函数，
对于B，定义域为，且，所以为奇函数，
对于C，定义域为，且，所以为偶函数，
对于D，定义域满足且，所以且，
故定义域为或或,故定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，
故选：C
5．若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，故.
故选:B.
6．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B
【解析】m，n是两条直线，，是两个平面，
对于A，若，，，则由面面平行的判定定理得，故A错误；
对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；
对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：B.
7．函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，则，又，
所以，则，
在上，，故，
所以最小值为.故选：A
8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，
不妨设A在第一象限，则，，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得，又，∴，
将代入，可得，∴，
∴双曲线的方程为1，
故选：D．
9．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取的中点分别为，连接，
可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，
将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体，
可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，
则三棱柱的体积为，
四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.故选：D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知复数，那么 .
【答案】
【解析】由题意可得：.
11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ．
【答案】28
【解析】因为的展开式中二项式系数之和为256，
所以，故，即该二项式为
设其展开式的通项为，则，
当时，即，此时该项为
12．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】设直线的方程为，联立抛物线的方程，消去y得，所以.
设，所以.
因为所以
因为以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，所以,
即
所以直线的方程为
因为，所以点P到直线AB的距离为.
13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ．
【答案】
【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种，
其中甲、乙参加同一项目的方案种，
则所求的参赛方案一共有种；
因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，
则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案，
若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，
故总共有种不同的方案；
若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，
故共有种不同的方案；
同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案；
乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案.
所以.
14．在边长为2的菱形中，，E是的中点，F是边上的一点，交于H．若F是的中点，，则 ；若F在边上（不含端点）运动，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】（1）如图所示：
设，
由三点共线，
可设
，
则有，解得：，
，即.
（2）如图所示：当点与点重合时，此时最长，
易知，且相似比为，
，在中，由余弦定理得：
，
所以，此时满足，所以，
所以，此时，
由图可知，，
则.
15．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【解析】因为函数恰有4个零点，
所以的图象与的图象有四个交点，当时，如图所示，
的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符；
当时，如图所示，
在上，当与相切时，
联立，得，
则，得（舍去），
由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符，
所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符，
当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符，
当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意；
当时，如图所示，

在上，当与相切时，
联立，得，
则，得（舍去），
由图可知，当 时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符，
当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符，
当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意，
当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符.
综上所述， 或.
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，.
(1)求的值；
(2)求的周长；
(3)求的值.
【解】（1）在中，由正弦定理，，，
可得，
因为，所以，即，
显然，解得．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或．
由已知，，互不相等，所以，
所以．
（3）因为，所以，
所以，，
所以.
17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的大小；
(3)求点到平面的距离．
【解】（1）由题意分别为的中点，
所以是的中位线，
即，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由于四边形是正方形，平面，
所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：

又，分别为的中点，
则，
所以；
设平面的一个法向量，
则，
解得，令，得；
即，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，令，
即；
设平面与平面夹角的大小为，
所以，
又，所以；
即平面与平面夹角的大小为；
（3）由（2）平面的一个法向量为；
又，
所以点到与平面的距离距为：
.
18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围.
【解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则，
四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为，
即，所以椭圆的方程为：.
（2）设，联立直线与椭圆，
消去y可得，
，则，，
设PQ的中点为，则，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，所以，
又，所以，
又，故即，
所以的取值范围是，
所以面积的取值范围为.
19．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.
(1)求的通项公式：
(2)设数列满足，
①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：.
【解】（1）因为，所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
所以的通项公式为；
（2）①设的公差为，因为，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以
②所以，
所以，
所以，
又因为，所以.
20．（本小题满分16分）已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值；
(2)当时，，且，求证．
(3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围；
【解】（1） ,
∵曲线在处的切线的方程为，
所以 ， ∴ ；
（2）当时，，则，
当时，，递减，当时，，递增，
由于，且，故不妨设，
则要证明，即证，而，
当时，递增，故即证，
由于，即只需证明，
令，
则，
当时， ，
即单调递减，故，
即时，，即有，
故原命题成立，即；
（3）因为，，
所以，故函数在上单调递增，
不妨设，则 可化为，设，则，
所以为上的增函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以 ，所以，
对于函数，，当时，，
故在上是增函数，所以，
所以 ，即m的取值范围为.
在△ABE中，．
设外接球半径为R，则，
故当时，外接球半径的最小值为．