2025年高考第三次模拟考试卷：数学（天津卷02）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（天津卷02）（解析版），共16页。试卷主要包含了同时具有性质，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45分）
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为全集，集合，所以，
又，所以，故选：A.
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，，显然时，不成立，充分性不成立；
由，，而，则，当且仅当时等号成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C
3．已知，，，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，，
且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，则，故选C.
4．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知底面圆的半径，由，则，
故该陀螺的体积，故选D.
5．已知函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，
又的定义域为，
为上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；
当时，为增函数，为增函数，又在上单调递增，
由复合函数单调性可知：在上单调递增，
又，
在上单调递减，与已知图象不符，A错误；
对于B，由得：，的定义域为，B错误；
对于D，，
不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误.
故选：C.
6．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，，得,即，解得.
因为，所以，
两式相减得，即.
又，，所以，
所以是首项为2，公比为3的等比数列，
∴，．
故选:D.
7．同时具有性质：“①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】据函数的性质,由,知,D错；图象与对称轴交点为最值点,即当函数时,函数值为最值,A错；对于B的单调增区间,可得,即为，当时, .故本题答案应选B.
8．某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度（单位：千米）与气压（单位：千帕）的六组数据绘制成如下散点图，分析研究发现点相关数据不符合实际，删除点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）

A．删除点后，样本数据的两变量正相关
B．删除点后，相关系数的绝对值更接近于1
C．删除点后，新样本的残差平方和变大
D．删除点后，解释变量与响应变量相关性变弱
【答案】B
【解析】由题意，从散点图中可知，删除点后，样本数据的两变量负相关，所以错误；由于点较其他点偏离程度大，故去掉点后，回归效果更好，从而相关系数的绝对值更接近于，所以B正确；同理决定系数越接近于，所以新样本的残差平方和变小，所以错误；从而解释变量与响应变量相关性增强，所以D错误，故选：B.
9．已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
所以，又，
所以，
又平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，
所以，，
所以，，，故是等边三角形，
所以，在中，
，
化简得：，所以，
双曲线C的方程为，
故选：A.

第二部分（选择题 共105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．若为虚数单位，复数= .
【答案】
【解析】设.
11．二项式的展开式中的系数是 .
【答案】
【解析】展开式的通项公式为，
令，则，
12．已知圆的圆心在第一象限，且在直线上，圆与抛物线的准线和轴都相切，则圆的方程为 .
【答案】
【解析】圆的圆心在第一象限，且在直线上，
故可设圆心为，，
圆与抛物线的准线和轴都相切，
故圆的半径，
解得：，或（舍去），
故圆的圆心为，半径为2，
则圆的方程为：.
13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ．
【答案】
【解析】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为
记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，，，，，
由全概率公式可得，
14．在边长为2的菱形中，，E是的中点，F是边上的一点，交于H．若F是的中点，，则 ；若F在边上（不含端点）运动，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】（1）如图所示：
设，
由三点共线，
可设
，
则有，解得：，
，即.
（2）如图所示：当点与点重合时，此时最长，
易知，且相似比为，
，在中，由余弦定理得：
，
所以，此时满足，所以，
所以，此时，
由图可知，，
则.
15．已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数恰有4个零点，所以有四个根，即和有四个交点.
当时，与图像如下：
两图像有2个交点，不符合题意；
当时，与轴交于两点.
图像如下：
当时，函数的函数值为，函数的函数值为.两图像有4个交点，符合题意；
当时， 与轴交于两点，在内函数图像有两个交点.
要使两图像有4个交点，只需与在内有两个交点即可，即在还有两个根，就是在内有两个根，
函数（当且仅当时等号成立）.
所以且，解得： .
综上所述：实数的取值范围是
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值.
【解】（1）因为，
又由余弦定理，
可得， ………………………2分
由知，
所以， ………………………4分
（2）由（1）及正弦定理得，
又因为，
所以， ………………………6分
又因为，
解得． ………………………8分
（3）由（2）知，
所以，， ………………………9分
因为，即，
则，或， ………………………11分
当时，
． ………………………13分
当，B为，此时． ………………………14分
17．（本小题满分15分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
又为边长为2的正三角形，为中点，
所以，
所以平面，平面，所以①, ………………………2分
又，
所以，所以，
所以，
所以(为与的交点)，所以②， …………………………3分
又因为③,
由①②③可得平面，
又因为平面，
所以平面平面； …………………………5分
（2）解：设,过作于，连接,
因为平面，平面，所以， …………………………7分
又因为，，则平面,
平面,所以，
所以为平面和平面夹角， …………………………8分
在中，,
在中，，所以，
所以中，,
所以； …………………………9分
（3）当点与点重合时，点到平面的距离为，
取中点，连接,
则∥，所以四点共面，
又平面，平面，所以，
又，,所以平面， …………………………11分
设点到平面的距离为，
又,
即,
即, …………………………13分
所以，
解得.
故在线段存在点（端点处），使点到平面的距离为. …………………………15分
18．（本小题满分15分）已知椭圆的左顶点为点A，上、下顶点分别为点B、C，左焦点为点F，且椭圆的焦距为，为等边三角形．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设过原点O且斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P、M均在第一象限．若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．
【解】（1）设椭圆左顶点为，上顶点为，
下顶点为，左焦点为．
因为为等边三角形，所以，即， …………………………2分
因为焦距为，所以，又，故，，， ………………4分
所以椭圆的方程为，离心率为． …………………………6分
（2）设直线l的方程为，
设点，则点，
设点，点B到直线l的距离为d，
因为，
所以，即， …………………………8分
又因为点P，M均在第一象限，
有，，即．
由点，点，易知直线AB的方程为，
由方程组，消去y，可得， …………………………9分
由方程组，消去y，可得． …………………………12分
由，可得，整理得，
解得，因为， …………………………14分
所以，故直线l的方程为． …………………………15分
19．（本小题满分15分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，；
(3)设为整数，若对于成立，求的最小值．
【解】（1）由题意可得：， …………………………1分
则，，
即切点坐标为，斜率， …………………………3分
所以曲线在点处的切线方程为，
即． …………………………4分
（2）当时，，
可知的定义域为，且， …………………………5分
令，解得．
列表如下：
…………………………7分
可知当时，取最小值，
所以． …………………………9分
（3）由（2）可知：，当且仅当时，等号成立，
令，则， ………………………10分
可得
，
即， …………………………12分
所以．
当时，, ………14分
所以对于任意，成立时，整数的最小值为3．………15分
20．（本小题满分16分）若有穷数列（n是正整数），满足即（i是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
(2)已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当k为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前2024项和．
【解】（1）设的公差为，则， ……………………2分
解得 ，
数列为； …………………………3分
（2）因为构成首项为，公差为的等差数列，
所以， ………………………5分
所以，
所以当时取得最大值，且. …………………………7分
（3）因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为，
所以这样的对称数列有：
①，，，，，，，，，，；
②，，，，，，，，，，； …………………………9分
因为，
对于①，当时；
当时
，
所以； …………………………12分
对于②，当时；
当时
， …………………………15分
所以. …………………………16分
1
0
单调递减
极小值
单调递增