2025年高考第二次模拟考试卷：数学（江苏卷02）（解析版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试卷：数学（江苏卷02）（解析版）
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，，则（ ）
A．{1，2}B．
C．D．
【答案】D
【分析】由交集和补集的定义求解即可.
【详解】因为所以，
∴.
故选：D.
2．已知复数z满足z1−i=3+5i，则复数z=（ ）
A．4+4iB．4−4i
C．−1+4iD．−1−4i
【答案】D
【分析】由已知等式化简求出z，从而可求出复数z.
【详解】因为z=3+5i1−i=3+5i1+i1−i1+i=−2+8i2=−1+4i，
所以z=−1−4i．
故选：D．
3．已知向量，，若，则实数（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据向量垂直的坐标运算规则得出结果.
【详解】解：由已知得，
因为，
故，解得.
故选：.
4．设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又因为在上单调递增，所以，即，
因为，所以，又因为在上单调递增，所以，即，
综上：.故选：D.
5．已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，则直线的斜率为
A．B．C．D．
【解析】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，，，
则两式相减得，整理得，
因为的中点为，则，
所以，即直线的斜率为．
故选：．
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（ ）
A．2B．3C．1D．4
【答案】C
【解析】由正弦定理得: ，则
又因为 ，所以 ，
所以 ，
在中由余弦定理得: .代入得:
. 解得: 或 ，
又因为 ，则 ，故，故选：C.
7．三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A．27−9π4cm3B．27−7π4cm3C．27+π4cm3D．27+3π4cm3
【答案】B
【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可.
【详解】圆筒体积为底面半径32，高度为4的圆柱体的体积减去底面半径为1，高度为4的圆柱体的体积，
故其体积V1=π×322×4−π×12×4=5πcm3；
中间部分的体积为棱长为3的长方体的体积减去底面半径为32，高为3的圆柱体的体积，
故其体积V2=27−π×322×3=(27−27π4)cm3；
故玉琮的体积V=27−27π4+5π=(27−74π)cm3.
故选：B.
8．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意构造，在上单调递增，且，从而可以推断出在上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果.
【详解】
令，在上单调递增，且，从而可以推断出
则（当时，满足），
从而在上单调递增，所以当时，，从而当时，；
当时，（当时取等号），又当时，，即，
所以在上单调递增，由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；
不等式.
令，则原问题等价于有解，从而，
∵，∴在上单减，在上单增，
∴，所以的最小值为，故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有一组样本数据，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为.由这组数据得到新样本数据，其中，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据新旧数据间样本的数字特征的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，平均数，中位数，标准差，极差，
所以ACD选项正确，B选项错误.
故选：ACD
10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）
A．函数在上的值域为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象一条对称轴
D．函数在上为增函数
【答案】CD
【分析】先根据三角恒等变换结合周期为得，然后由三角函数的图象和性质逐一判断四个选项即可.
【详解】，所以最小正周期，解得，则.
对于选项A：当时，，，则，故A错误；
对于选项B：，所以是图象的一个对称中心，故B错误；
对于选项C：，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；
对于选项D：令，当时，，因为在上为增函数，所以函数在上为增函数，故D正确.
故选：CD.
11．已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（ ）．
A．
B．的范围是
C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据斜率公式即可化简求解A；
根据椭圆定义，结合二次函数的性质即可求解B；
根据点到直线的距离公式即可求解C；
根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解D.
【详解】对于A，设，则，
故A正确，
对于B，由于又，即，
所以，
故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故B错误，
对于C，设方程为，所以，其中为到直线的距离，故C正确，
对于D，由余弦定理可得,
因此，
又，
，故，
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】1260
【解析】在表示有10个相乘，项来源如下：
有6个提供，有2个提供，有2个提供，
故项的系数为.
故答案为：1260
13．已知直线，动直线被圆截得弦长的最小值为 ．
【答案】
【解析】由圆可得：圆心，半径.
由直线可得：直线过定点.
因为
所以点在圆内，直线与圆相交，
则过点且与垂直的弦的弦长最短，且弦长的最小值为.
故答案为：
14．已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则
【答案】0
【解析】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，
又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称，
所以，所以，即，
所以，则函数的一个周期为4，
对，
令，则，所以，
令，则，又，所以，
，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.
(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
附表及公式：
其中K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.
【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关
(2)分布列见解析，Eξ=1
【分析】（1）根据条件可完善表格，然后计算出K2的值即可；
（2）由条件可得ξ∼B4,14，然后算出答案即可.
【详解】（1）由题中的数据补充列联表可得：
K2=1600×(800×100−400×300)21200×400×1100×500=32033≈9.697>3.841，
故有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.
（2）根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为14.
可知ξ的取值有0，1，2，3，4，ξ∼B4,14，记P(ξ=i) (i=0,1,2,3,4)为ξ=i的概率，
则P(ξ=0)=C40⋅344=81256，
P(ξ=1)=C41⋅34314=108256，
P(ξ=2)=C42⋅342142=54256，
P(ξ=3)=C43⋅34143=12256；
P(ξ=4)=C44⋅144=1256；
则ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望E(ξ)=4×14=1.
16．（15分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面
(1)证明：平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论；
（2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可.
（3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案.
【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以
又因为平面ABCD，平面ABCD，所以
因为，且，平面，
所以平面
（2）因为平面，平面，
所以，，
又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，
以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，
故
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为
（3）若存在点P满足题意，则可设点，其中，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故
易得平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去)，
故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为
17．（15分）已知函数，m，．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，证明：，．
【答案】(1)0(2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；
（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式等价转化为，设，依题意，只需证在时，成立，分别求即可得证.
【详解】（1）当时，，，
由，可得或，由，可得，
即在和上单调递增；在上单调递减，
时，，时，，故时，取得极小值也即最小值，为.
（2）当时，，函数的定义域为，，
当时，恒成立，故在上为增函数；当时，由，可得，
故当或时，；即在和上单调递增；
当时，，即在上单调递减.
综上，当时，在上为增函数；当时，在和上单调递增,
在上单调递减.
（3）当时，,
要证，，只需证，
即证在上恒成立.
设，依题意，只需证在时，.
因，，由，可得，由，可得，
故在上单调递减，在上单调递增,
则在时取得极小值也是最小值，为；
因，，由，可得，
由，可得，由，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则在时取得极大值也是最大值，为.
因，即在上成立，故得证.
即，．
18．（17分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点．
(1)若双曲线的离心率为2；求b的值；
(2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用离心率求解即可，（2）利用是等边三角形，得到，（3）由知，故．联立双曲线和直线的方程结合韦达定理求解即可.
【详解】（1），，∴．
∴，∴；
（2）设．由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，即，
解得．故双曲线的渐近线方程为；
（3）由已知，，．
设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l：．显然．
由，得．
因为l与双曲线交于两点，所以，且．
设AB的中点为．
由
即，知，故．
而，，，
所以，得，故l的斜率为．
19．（17分）已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合变形，再利用等差数列求出通项.
（2）（i）利用导数证明不等式，由此放缩各，再利用分组求和法求解即得；（ii）由（i）推理证得及，再利用裂项相消法求和推理即得.
【详解】（1）正项数列中，，，，当时，，
两式相减得，即，
而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）（i）令，求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
于是，
即，即，
当时，，
当时，因此，
所以
（ii）由已知，所以，得，
当时，，于是，
当时，，
又，所以，恒有，当时，，
由，得当时，，
则当时，，
从而
，
于是，
所以.
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
良好以下
良好及以上
合计
男
800
1100
女
100
合计
1200
1600
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
良好以下
良好及以上
合计
男
800
300
1100
女
400
100
500
合计
1200
400
1600
ξ
0
1
2
3
4
P
81256
108256
54256
12256
1256