浙江省宁波市金兰教育合作组织2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份浙江省宁波市金兰教育合作组织2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析，共20页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 有下列说法，其中正确的说法为， 已知复数均不为0，则等内容，欢迎下载使用。
命题学校：宁波二中 审题学校：姜山中学；浒山中学
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得结果.
【详解】由可得，
即可得，解得.
故选：D
2. 若，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. 1B. iC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算可求得，再由虚部定义可得结果.
【详解】易知，
因此可得复数的虚部为.
故选：C
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
【答案】C
【解析】
【分析】根据棱柱定义可知A错误，再由六棱锥性质可判断B错误，棱台是由棱锥截得的，可知C正确，直角梯形的直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，即D错误.
【详解】对于A，如下图所示：

显然该几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，即A错误；
对于B，易知正六边形的中心与相邻两顶点构成的三角形即为正三角形，如下图，

显然正六棱锥的侧棱比底边长，因此其侧面不可能是正三角形，即B错误；
对于C，根据棱台定义即可判断C正确；
对于D，直角梯形中，如下图所示：

以直角梯形的直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，
若以直角梯形的腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，即D错误.
故选：C
4. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值.
【详解】因为，令，，，
则.
故选：A.
5. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，接着由求得，再结合向量数量积运算律和模长公式即可计算得解.
【详解】由题得向量在向量上的投影向量为，
所以，又，故，
因为，所以，
所以，
所以
，
所以.
故选：B.
6. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边的中点，且，则边的高为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，由直观图的斜二测画法可求边的高.
【详解】因为是等腰直角三角形，且，所以可得，
又因为轴，则在原图形中，轴，
所以，由直观图的斜二测画法可得.
故边的高为.
故选：A.
7. 已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（ ）
A. -8B. -4C. -2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，可求得，当过时，可取得最小值，利用基本不等式可求得，可求的最小值.
【详解】由平面向量的平行四边形法则可得，
所以，
所以，
所以，
所以，当过时，可取得最小值，
又，又，
可得，取等号，此时，
此时与共线反向，此时最小，最小值为.
故选：B.

8. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理和两角和正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案.
【详解】因为，由正弦定理得，
又因为，
可得，解得，
因为，所以；
如图所示，设，延长交于点，
则，
所以，同理可得，
过点作，
则
又由，所以,
所以，可得，
即，
因为为的外心，设的内切圆的半径为，
可得，
可得，即，
又因为，即，可得，
由正弦定理得,
又因为，可得，因为且，所以，可得，
所以，可得，.
故选：D.
二、多项选择题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）
9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据相等向量的定义可判断A、B；根据平行向量的定义结合向量的数量积的性质可判断C、D.
【详解】对于A，，但与方向未必相同，所以不一定有，故A不正确；
对于B，由知与方向相同、模长相等，故B正确；
对于C，若，由知，若与同向，；若与反向，，故C不正确；
对于D，由得，若，则中至少有一个零向量，得到；若，则，因为，所以，故，所以D正确；
故选：BD.
10. 已知复数均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.
【详解】设、；
对A：设，则，
，故A错误；
对B： ，又，即有，故B正确；
对C：，则，
，，则，
即有，故C正确；
对D：
，
，
故，故D正确.
故选：BCD.
11. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（ ）
A. “等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形
B. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是
C. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为
D. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为,与之对应的长方体的长宽高分别为，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，与之对应的长方体的长宽高分别为，
则，解得，
所以，
不妨设构成的三角形为，
由余弦定理可得，同理可得，
从而可得均为锐角，故A正确；
当三组对棱长度分别为5，6，7，则，
因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
所以等腰四面体的体积，故B错误；
设在四面体的一个面中7所对的角为，
可得，所以一个面的面积为，
设内切球的半径为，则可得，解得，故C正确；
等腰四面体的外接球即为对应的长方体的外接球，
所以外接球的半径为，故D正确.
故选：ACD..
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示）
【答案】
【解析】
【分析】由，结合正弦定理可得，可得结论.
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，所以，
故答案为：.
13. 已知，复数，，且，若，则的最小值______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数加减法则运算可得，再由二次函数性质计算可得当时取得最小值.
【详解】由可得，即可得；
因此；
当时，取得最小值.
故答案为：
14. 正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得在为直径的圆上的点，记线段，，的中点为，由题意可得，进而可求模的最大值.
【详解】因为，所以在为直径的圆上的点，
记线段，，的中点为，
由题意，可得，，，

则，
当为的延长线与圆的交点时，可使的模最大，
同时共线同向，可使最大，
由平面几何知识可求得，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知复数，且为纯虚数
（1）求实数及；
（2）若是关于x的方程的一个根，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）化简，结合纯虚数的定义求出，再利用复数的模长公式即可；
（2）将代入一二次方程中，再利用复数相等的概念列出方程组即可求出
【小问1详解】
由题意可知，，
则
因是纯虚数，则且，得
则，得.
【小问2详解】
由题意可知，，
则，
则且，
得，，故.
16. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
（1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解；
（2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积.
【小问1详解】
由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长，
由，可得，即母线，
在中，由余弦定理可得
所以爬行的最短路程为；
【小问2详解】
因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为，
从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为，
又圆锥的表面积为，
所以剩下几何体的表面积，
剩下几何体的体积为.
17. 如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.
（1）设，求实数值；
（2）设是上一点，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）设，，得到，，计算得到答案.
（2），代入数据化简得到答案.
【详解】（1）设，，因为，是的中点，
所以.①
设，，
故，整理得，
又，即，
所以.②
联立①②，据平面向量其本定理，得解得，，
所以实数的值为.
（2）因为，所以，即，
所以
.
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的面积；
（3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由得，利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；
（2）由得，利用向量求，最后由三角形的面积公式即可求解；
（3）由已知有得，利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由由正弦定理有
，
∵，，∴，整理得.
又∵，，，∴.
【小问2详解】
由
∵，，，即
∴，
解得（舍）或.
∴；
【小问3详解】
由已知有：
，
得，整理得
当且仅当时取到最小值，即取等号.
19. 将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角.
（1）求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；
（2）已知，，试推导复数的三角形式；
（3）在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明.
【答案】（1），，，
（2）
（3）为正三角形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解；
（2）利用复数的乘法运算求解即可；
（3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形.
【小问1详解】
由立方和公式得，，
可得或，
解得三个根，，，；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，
以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设，由题意，得，
，，，

，，，
，，
，
由（1）知，
，
由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形.