浙江省宁波市金兰教育合作组织2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：宁波二中 审题学校：姜山中学；浒山中学
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，，若，则的值为（ ）
A B. C. D.
2. 若，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A 1B. iC. D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B. 如果一个棱锥各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
4. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ）
A. 4B. C. D. 5
6. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边的中点，且，则边的高为（ ）

A. B. C. D. 4
7. 已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（ ）
A. -8B. -4C. -2D. 2
8. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）
9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知复数均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（ ）
A. “等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形
B. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是
C. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为
D. 若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示）
13. 已知，复数，，且，若，则的最小值______.
14. 正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知复数，且为纯虚数
（1）求实数及；
（2）若是关于x的方程的一个根，求的值.
16. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.
（1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；
（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.
17. 如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的面积；
（3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值.
19. 将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角.
（1）求方程复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；
（2）已知，，试推导复数的三角形式；
（3）在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明.