浙江省宁波市金兰教育合作组织2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

2022学年第二学期宁波金兰教育合作组织期中联考

高一年级数学学科  试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，则（    ）

A． B．1 C．5 D．

2．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ）

A．和  B．和

C．和  D．和

3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ）

A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥

4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A，B两个观测点，并在A，B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且，则此建筑物的高度为（    ）

A．45m B．60m C． D．

6．已知斜二侧画法下的直观图是边长为2的正三角形（如图所示），则（    ）

A． B． C． D．4

7．已知平面向量，，均为单位向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．

9．下列结论中正确的是（    ）

A．正四面体一定是正三棱锥 B．正四棱柱一定是长方体

C．棱柱的侧面一定是平行四边形 D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

10．已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，若，，则（    ）

A． B．

C．  D．

11．下列命题中正确的命题是（    ）

A．若复数z满足，则

B．若复数z满足，则

C．若复数，满足，则

D．若复数，满足，则

12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则一定是等边三角形

B．若，则一定是钝角三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是直角三角形

非选择题部分

三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知正方体的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点的最短距离是__________．

14．已知复数z满足，则（i是虚数单位）的最大值是__________．

15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，边长，则__________．

16．已知中，，D，E是线段BC上的两点，满足，，，，则__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）已知复数满足，且为纯虚数．

（1）求；

（2）若，，求实数b，c的值．

18．（本题满分12分）已知平面直角坐标系内存在三点：，，．

（1）求的值；

（2）若平面上一点P满足：，，求点P的坐标．

19．（本题满分12分）如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体．

（1）求阴影部分形成的几何体的体积；

（2）求阴影部分形成的几何体的表面积．

20．（本题满分12分）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，．

（1）若，求的面积；

（2）求周长的最大值．

21．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，，，，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G，点H是线段AB上的两个三等分点，点P是直线BC上的一点．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）直线AP分别交线段EG、FH于M，N两点，若B、N、D三点在同一直线上，求的值．

22．（本题满分12分）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．

（1）证明：为等边三角形；

（2）若求m的最小值．

2022学年第二学期宁波金兰教育合作组织期中联考

高一年级数学学科  参考答案

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

13．  14．3  15．  16．

四、解答题

17．（1）∵为纯虚数，∴  1分

∵且，∴，  3分

∵  5分

（2）法一：把代入：

化简得：  7分

 9分

解得：，  10分

法二：的一根为，则另一根为：  7分

  9分

解得：，  10分

18．（1），  2分

，，  4分

 6分

（2）  7分

∵，∴  8分

  9分

∵，∴，即  11分

∴，即  12分

19．过点C作，垂足为点，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．

（1），，，  1分

以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为

以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为

  4分

半圆面以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球体，体积为  5分

 6分

（2）以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为

 7分

以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为

  8分

ACB以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为  9分

正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分：  11分

 12分

20．（1）法一：∵，由正弦定理得，

∴，∴，2分

∵，∴，∴，∵，∴．3分

由余弦定理得：，

，，∴或4，5分

∴或．

综上，的面积为或  6分

法二：由余弦定理得，，∴，2分

∴，∵，．3分

由余弦定理得：，

，，∴或4，5分

∴或．

综上，的面积为或  6分

（2）法一：由正弦定理得：，7分

 9分

．11分

，当且仅当时取到最大值．12分

注：不化简也给分

法二：由余弦定理得：∵，∴，8分

∵  9分

，∴  11分

，当且仅当时取到最大值．12分

21．（1）设，

∵，

∴，即  3分

（2），  5分

  7分

（3），

由于D，N，B三点共线，所以，∴，  9分

由于A，M，N三点共线，所以，即  11分

所以，  12分

22．（1）如图，连接，，则，，

在中，由余弦定理得：，

即  2分

  4分

∵，∴，∴  5分

同理：，即为等边三角形  6分

（2）  7分

则  9分

∵，，11分

∴，解得：

当且仅当，时取到最小值1．12分