浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 函数的定义域是， 设，，，则， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式解法可得或，再由补集、交集的运算法则即可求得结果.
【详解】解不等式可得或，即或，
则，又，
所以.
故选：C
2. 命题“"的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题“"的否定是“".
故选：C
3. 已知函数则的值为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）＝6，进而可得＝f（），由解析式计算可得答案．
【详解】根据题意，函数，则f（2）＝22+2×2﹣2＝6，
则＝f（）＝2﹣（）2＝.
故选D．
【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
4. 下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应.
【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，
都有唯一确定的数y与之对应，
所以ABD选项的图象不是函数图象，故排除,
故选：C.
5. 函数的定义域是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，
所以函数的定义域为，
故选：B.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对，，分别化简放缩，利用指数函数单调性，即可求出.
【详解】由题，，
设函数，因为，所以单调递增，
因为，所以.
因为，所以，
所以，
故选：C
7. 某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（ ）
A. 6小时B. 7小时C. 9小时D. 5小时
【答案】B
【解析】
【分析】按照题目所给的条件，算出，，再代入计算即可.
【详解】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以，
所以，即，
所以，解得，
所以
所以第36天检测过程平均耗时小时，
故选：B.
8. 已知函数，函数，若任意的，存在，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对分离变量化简，结合单调性，求出和的值域，由题意可得的值域为值域的子集，解不等式可得所求范围.
【详解】，，
①当时，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，
可得，，
由题意，得，
解得；
②当时，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减，
可得，，
由题意，得，
解得；
③当时， ，，显然不满足，
故实数的取值范围为，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设是定义在上的奇函数且在上单调递减，，则（ ）
A. 在上单调递减B.
C. 不等式的解集为D. 的图象与轴只有2个公共点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数特征，画出的大致图象，结合图象分析四个选项.
【详解】
对于A，因为是定义在上的奇函数且在上单调递减，，
根据奇函数特征，所以在上单调递减，，，
故A正确；
对于B，画出大致图象如图，根据图象可知，故B错误；
对于C，如图可知，不等式的解集为，故C正确；
对于D，的图象与轴只有3个公共点，分别是，，，故D错误，
故选：AC.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
C. 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则时，
D. 与是两个相同的函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由基本不等式即可判断；对于B，利用充分必要条件的概念判断即可；对于C，利用函数的奇偶性求解析式即可；对于D，判断两个函数的定义域，对应关系是否一致即可.
【详解】对于A，，
当且仅当时取“=”，显然不成立，所以A错误；
对于B，由，而，
所以“”是“”的必要不充分条件，所以B正确；
对于C，为定义在上的奇函数，时，，
时，，则，
所以，则C正确；
对于D，，，两个函数的定义域，对应关系都一样，
所以是两个相同的函数，则D正确；
故选：BCD
11. 已知函数的图象关于对称，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A 0B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由函数的图象关于对称，得到的图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据当，且时，成立，得到在上递减，在上递增，然后将对任意恒成立，转化为对任意恒成立求解.
【详解】解：因为函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于y轴对称，则为偶函数，
又因为当，且时，成立，
所以在上递减，在上递增，
则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当时，成立；
当时，即对任意恒成立，
而，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，
故选：ABD
12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（ ）
A. 函数的值域是
B.
C. 对任意恒成立
D. 存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据新定义函数得函数的值域为；无论为有理数还是无理数，均为有理数，故；由于与均属于有理数或均属于无理数，故对任意恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.
【详解】解：对于A选项，函数的值域为，故A选项错误.
对于B选项，.当为有理数时，，
当为无理数时，，
所以，，故B选项正确.
对于C选项， 为有理数时，为有理数，
当为无理数时，为无理数，
所以恒成立，故C选项正确.
对于D选项，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，则的值得可能性只能为或，由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，故D选项错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值，再结合题意讨论各选项即可得答案.
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数在第一象限单调递减，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数定义及单调性可得，代入解析式即可求得.
【详解】由幂函数定义可得，
即，解得或，
又函数在第一象限单调递减，所以，即，
即可得.
故答案为：
14. ____________.
【答案】81
【解析】
【分析】利用指数幂运算法则化简即可求得答案.
【详解】
故答案为：81.
15. 函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合函数特点，求出实数的取值范围.
【详解】当时，在上是减函数，符合题意；
当时，为一元二次函数，对称轴为，
因为函数在上是减函数，
所以，解得，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
16. 已知函数，且，则的最小值为______．
【答案】##2.8
【解析】
【分析】首先根据题中条件，结合二次函数的图象求出实数的值；从而结合对号函数的单调性即可求出最小值.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为，所以或，
因为，所以解得.
所以，
所以，
因为在内单调递减，在单调递增，
又，，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合或，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补运算公式计算即可.
（2）根据集合的包含关系，分与两类讨论即可求出的取值范围.
【小问1详解】
因为集合或，，
所以，
所以
小问2详解】
∵，∴
①当时，∴，解得
②当时，则，解得
综上所述：的取值范围是
18. 已知正数、满足.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）由已知，展开后结合基本不等式求解.
（2）对已知式子变形，结合已知条件求出，然后再利用基本不等式求解.
【小问1详解】
因为、是正数，
所以
当且仅当，时等号成立,
所以的最小值为.
【小问2详解】
因为，
所以，，
所以，，
则
当且仅当，时等号成立，
所以最小值为8.
19. 已知函数（且）的定义域为，且.
（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义法证明.
【答案】（1），奇函数
（2）单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据求出的值，然后根据奇偶函数的定义判断其奇偶性.
（2）定义法判断函数的单调性.
【小问1详解】
∵函数（且）的定义域为，
，解得：，
∴，，
∴
∴是奇函数.
【小问2详解】
设且，
∴
∵，，，
∴，
即当时，，
∴在上单调递增.
20. 已知二次函数.
（1）若，求在上的值域；
（2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入，转换成二次函数求值域问题，求解即可..
（2）分离参数，转换成不等式能成立问题，求解即可.
【小问1详解】
根据题意，函数，
∵，则，又由，
当时，有最小值4，
当时，有最大值13，
则有，即函数的值域为
【小问2详解】
整理得
∵，
∴
令，设，且，
则，
因为，，
所以，即，
所以在单调递增，
所以当时，，
∴.
21. 2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60，280万元
【解析】
【分析】（1）可得销售额为万元，分和即可求出；
（2）当时，利用二次函数性质求出最大值，当，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.
【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x千件商品销售额万元
当时，
当时，
（2）当时，
此时，当时，即万元
当时，
此时，即，则万元
由于
所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元．
【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.
22. 已知函数，.
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若函数在上单调，且对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，函数在区间上的最大值为，求的函数解析式.
【答案】（1）单调增区间为，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，求得函数的最大值，即可得到，从而求得结果；
（3）根据题意，由条件可得在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，即可得到结果.
【小问1详解】
当时，，
时，，由与在单调递增可知，
此时的单调增区间为，
时，，
此时的单调增区间为，由对勾函数的性质可知，
∴此时的单调增区间为，.
【小问2详解】
当时，，
因为函数在上单调，所以，
此时在上单调递增，，
由题意：恒成立，即，
所以，
又，
∴的取值范围为.
【小问3详解】
当时，，
又，由上式知，在区间单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
则，