高一寒假数学自学 专题04 指数函数+对数函数+函数与方程（共8大考点）（原卷版）

这是一份高一寒假数学自学 专题04 指数函数+对数函数+函数与方程（共8大考点）（原卷版），共12页。

【考点1】求指数（对数）型复合函数的单调区间
【考点2】根据指数（对数）型复合函数的单调性求参数
【考点3】求指数（对数）型复合函数的值域（最值）
【考点4】比较指数幂的大小
【考点5】由指数（对数）型复合函数的单调性解不等式
【考点6】零点个数问题
【考点7】零点代数和问题
【考点8】新定义问题
知识点 1 ：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点2：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
知识点3：函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
知识点4：函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
题型归纳
【考点1】求指数（对数）型复合函数的单调区间
1．（2024·河北·三模）函数的递增区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的一个单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【考点2】根据指数（对数）型复合函数的单调性求参数
1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点3】指数（对数）型复合函数的值域（最值）
1．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，，则其值域为 ．
2．（23-24高一上·广东广州）已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)若，使成立，求a的取值范围．
3．（23-24高一上·吉林）设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．
(1)求k和a的值；
(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；
(3)函数，，求的值域．
4．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
(1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
(2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数为奇函数.
(1)解不等式；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【考点4】比较指数幂的大小
1．（2024·四川雅安·一模）下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京顺义·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建宁德·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·天津河北·二模）若，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【考点5】由指数（对数）型复合函数的单调性解不等式
1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，
(1)求证：为奇函数；
(2)解关于的不等式
(3)若恒成立，求实数k的取值范围；
2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数是奇函数，且.
(1)求实数，的值；
(2)试判断的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
3．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求实数的值．
(2)试判断的单调性（无需证明），并求的值域．
(3)解关于的不等式．
4．（24-25高三上·河南·期中）已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求和的解析式，并判断在区间上的单调性（需要证明）；
(2)若对，都有，求实数m的取值集合．
6．（22-23高一上·湖南长沙·期末）已知（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)当（其中，且t为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)当时，求满足不等式的实数x的取值范围.
【考点6】零点个数问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【考点7】零点代数和问题
1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
2．（2024·广东珠海·一模）已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
4．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ．
5．（2024·河南·模拟预测）已知，函数.
(1)若，求的值；
(2)若分别为fx,gx的零点，求的值.
6．（2024·河南·模拟预测）设且，函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数在区间上有零点，求的取值范围.
【考点8】新定义问题
1．（2024·上海·二模）对于函数f(x)，若在定义域内存在实数，满足，则称f(x)为“类函数”.
(1)已知函数，试判断f(x)是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证：是的“4重覆盖函数”；
(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
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一、单选题
1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）声强级（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：），若某人交谈时的声强级为，则其声强约为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川宜宾·一模）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·吉林·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·四川眉山·一模）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，记，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·宁夏·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
二、多选题
11．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（ ）
A．在0,1单调递增B．y=fx的图象关于点1,0对称
C．y=fx的图象关于直线对称D．函数有两个零点
12．（2024·贵州铜仁·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周期是2
B．在上递减，在上递增
C．的最大值是2，最小值是1
D．当时，
13．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为4B．的图象关于对称
C．D．当时，
三、填空题
14．（2024·四川泸州·一模）已知函数，对任意实数，方程有解，则的取值范围是 .
15．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 .
16．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
17．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
四、解答题
18．（2024·四川德阳·一模）已知函数的定义域为，
(1)若，求函数的值域；
(2)若，且，求实数的取值范围．
19．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
20．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围．
21．（23-24高三上·浙江杭州）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．
22．（23-24高一上·云南昆明）已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)当时，判断的单调性；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
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底数
图象
性质
定义域
值域
单调性
增函数
减函数